2009-四川卷文-04 单-三角性质判断

本题导读

考查三角函数性质。$f(x)=-\cos x$：周期 $2\pi$、在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上增、是偶函数（图象关于 $x=0$ 对称），“奇函数”错误，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$（$x\in \mathbf{R}$），下面结论错误的是 ()

A. 函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$

B. 函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上是增函数

C. 函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=0$ 对称

D. 函数 $f(x)$ 是奇函数

🔍【思路分析】

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1. 诱导公式：$f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$。
2. 周期 $2\pi$，A 正确。
3. $-\cos x$ 在 $[0,\pi ]$ 上单调递增，B 正确。
4. $-\cos x$ 是偶函数，图象关于 $x=0$ 对称，C 正确、D 错误。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由诱导公式，$f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$。 其最小正周期为 $2\pi$，A 正确； 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上 $\cos x$ 递减，故 $-\cos x$ 递增，B 正确； $-\cos x$ 是偶函数，图象关于直线 $x=0$ 对称，C 正确，D 错误。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：诱导公式化简后判断性质

核心方法：$\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$

避坑指南：$-\cos x$ 是偶函数不是奇函数；“错误的是”要求选假命题，审题先圈”错误”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$ 与 $\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$ 对比记忆。

结论推广：$-\cos x$ 在 $[0,\pi ]$ 上递增，子区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 自然递增。

方法推广：判断奇偶先化简再代 $-x$：$f(-x)=-\cos (-x)=-\cos x=f(x)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-07 单-图象平移奇函数
• 2009-大纲卷I文-01 单-诱导公式求值
• 2009-山东卷文-12 单-奇函数周期
• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期