2009-四川卷文-20 解-切线定参与极值

本题导读

考查导数与极值。（1）$f(2)=0$ 且 $f^{\prime }(2)=5$，解得 $b=-1$，$c=1$，$f(x)=x^3-2x^2+x-2$；（2）$g^{\prime }(x)=3x^2-4x+1+\frac{m}{3}$，$\Delta >0$ 得 $m<1$，极大值点 $x=\frac{2-\sqrt{1-m}}{3}$，极小值点 $x=\frac{2+\sqrt{1-m}}{3}$。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+2b{x}^2+cx-2$ 的图象在与 $x$ 轴交点处的切线方程是 $y=5x-10$.

(1)求函数 $f(x)$ 的解析式；

(2)设函数 $g(x)=f(x)+\frac{1}{3}mx$，若 $g(x)$ 的极值存在，求实数 $m$ 的取值范围以及函数 $g(x)$ 取得极值时对应的自变量 $x$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 切线 $y=5x-10$ 与 $x$ 轴交于 $(2,0)$，即切点：$f(2)=0$，$f^{\prime }(2)=5$。
2. $8+8b+2c-2=0$ 与 $12+8b+c=5$，解得 $b=-1$，$c=1$。 3.（2）$g^{\prime }(x)=3x^2-4x+1+\frac{m}{3}$，极值存在 $⟺\Delta =16-12\left(1+\frac{m}{3}\right)>0$。
3. $4-4m>0$，$m<1$；两根 $x=\frac{2\pm \sqrt{1-m}}{3}$，左极大右极小。

✅【答案】

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(1) $f(x)=x^3-2x^2+x-2$；(2)$m<1$；当 $x=\frac{2-\sqrt{1-m}}{3}$ 时取得极大值，当 $x=\frac{2+\sqrt{1-m}}{3}$ 时取得极小值

✍【详细解析】

Abstract

（1）切线 $y=5x-10$ 与 $x$ 轴的交点为 $(2,0)$，即曲线与 $x$ 轴的交点为 $(2,0)$， 且在该点处切线斜率为 $5$。因此 $f(2)=8+8b+2c-2=0,f^{\prime }(2)=12+8b+c=5.$ 联立解得 $b=-1$，$c=1$。故 $f(x)=x^3-2x^2+x-2.$ （2）$g(x)=f(x)+\frac{1}{3}mx=x^3-2x^2+\left(1+\frac{m}{3}\right)x-2$， $g^{\prime }(x)=3x^2-4x+1+\frac{m}{3}.$ $g(x)$ 的极值存在，当且仅当 $g^{\prime }(x)=0$ 有两个不相等的实数根，即 $\Delta =16-12\left(1+\frac{m}{3}\right)=4-4m>0,$ 解得 $m<1$。 此时 $g^{\prime }(x)=0$ 的两根为 $x=\frac{4\pm \sqrt{4-4m}}{6}=\frac{2\pm \sqrt{1-m}}{3}.$ $g^{\prime }(x)$ 是开口向上的二次函数，故当 $x=\frac{2-\sqrt{1-m}}{3}$ 时 $g(x)$ 取得极大值， 当 $x=\frac{2+\sqrt{1-m}}{3}$ 时取得极小值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线条件定参与极值分类

核心方法：切点 $(2,0)$：$f(2)=0$ 且 $f^{\prime }(2)=5$

避坑指南：“极值存在” $⟺\Delta >0$（严格大于，等于零时导数不变号无极值）；大根极小、小根极大（开口向上二次导数）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线与 $x$ 轴交点即切点：$y=0$ 代入得 $x=2$。

结论推广：两方程 $8b+2c=-6$ 与 $8b+c=-7$ 相减消 $c$。

方法推广：含参极值题先求导再讨论判别式，$m=1$ 时 $g^{\prime }(x)=3(x-\frac{2}{3}{)}^2⩾0$ 无极值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线
• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2009-天津卷文-21 解-导数零点恒成立