2009-四川卷理-08 单-球

本题导读

本题考查空间球体的几何性质及球面距离的计算。核心在于通过截面性质将空间球心距、球半径以及小圆半径转化为平面直角三角形的计算，进而求解球心角。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 如图，在半径为 3 的球面上由 $A,B,C$ 三点，$\angle ABC=90^{\circ }$，$BA=BC$，球心 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离是 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$，则 $B,C$ 两点的球面距离是 ()

A. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　C. $\frac{4\pi }{3}$　　　　　　　D. $2\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据球半径 $R$ 与球心到截面平面的距离 $d$，利用直角三角形勾股定理求出截面小圆的半径 $r$。
2. 结合 $\angle ABC=90^{\circ }$ 说明 $AC$ 为小圆直径，再根据等腰直角三角形性质求得弦长 $BC$。
3. 在 $△OBC$ 中判定球心角 $\angle BOC$ 的弧度数，利用球面距离公式得出结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设球的半径为 $R=3$，球心 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离为 $d=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。 截面小圆的半径为： $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{3^2-{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{9-\frac{9}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

因为 $\angle ABC=90^{\circ }$，所以 $△ABC$ 的外接圆（即截面小圆）直径为 $AC$， 即 $AC=2r=3\sqrt{2}$。

又因 $BA=BC$，故 $△ABC$ 为等腰直角三角形，由勾股定理可得弦长： $BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3$

在空间 $△OBC$ 中，$OB=OC=R=3$，且 $BC=3$， 由此可知 $△OBC$ 为等边三角形，则球心角 $\angle BOC=60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$。

根据球面距离公式， $B,C$ 两点的球面距离为： $s=R\cdot \angle BOC=3\times \frac{\pi }{3}=\pi$

故正确选项为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球的截面圆半径公式 $R^2=d^2+r^2$；球面距离的定义（大圆劣弧长）。
2. 核心方法：空间几何转化为平面几何问题求解（“割面法”）。
3. 避坑指南：容易混淆“球面距离”与“空间直线距离”。球面距离必须依托于通过球心的“大圆”弧长，不能误直接在截面小圆中求弧长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于立体几何中“立体几何初步”中球的传统考查方式。将立体几何中的距离、角度与球的性质融为一体，是历年高考考查空间想象力与基本运算的经典题型。
2. 结论推广：对于球面上任意两点，若它们与球心构成的三角形为等边三角形（即弦长等于球半径 $R$），则这两点间的球面距离恒为 $\frac{\pi }{3}R$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2012-辽宁卷文-16 填-外接球与三角形面积
• 2011-上海卷文-17 单-三角方程解集
• 2011-上海卷理-08 填-三角函数