2009-大纲卷I理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理、解三角形中的边角互化。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A、B、C$ 的对边长分别为 $a、b、c$，已知 $a^2-c^2=2b$，且 $\sin A\cos C=3\cos A\sin C$，求 $b$.

🔍【思路分析】

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1. 利用余弦定理将已知条件 $\sin A\cos C=3\cos A\sin C$ 中的余弦项展开，结合正弦定理进行“角化边”的等价变换，得到关于边长 $a,b,c$ 的代数齐次式。
2. 化简齐次式得到 $a^2-c^2$ 与 $b^2$ 的结构关系，再联立已知条件 $a^2-c^2=2b$ 即可消元解出 $b$。

✅【答案】

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由正弦定理和余弦定理，得sin𝐴=𝑎2𝑅，sin𝐶=𝑐

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理可知： $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab},\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 将上述公式代入已知条件 $\sin A\cos C=3\cos A\sin C$ 中，得： $\sin A\cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=3\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot \sin C$ 根据正弦定理，有 $\sin A=\frac{a}{2R},\sin C=\frac{c}{2R}$（其中 $R$ 为 $△ABC$ 外接圆半径），代入上式得： $\frac{a}{2R}\cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=3\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot \frac{c}{2R}$ 两边消去共同因式 $\frac{1}{2R}$ 并约分化简得： $\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}=3\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2b}$ 因为 $b>0$，两边同乘以 $2b$ 展开整理： $a^2+b^2-c^2=3b^2+3c^2-3a^2$ $4a^2-4c^2=2b^2⟹2(a^2-c^2)=b^2$ 又已知 $a^2-c^2=2b$，代入上式可得： $2\times 2b=b^2⟹b^2-4b=0$ 因为 $b$ 为 $△ABC$ 的边长，满足 $b>0$， 所以解得 $b=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理与余弦定理在基本几何量推导中的交汇。
2. 核心方法：边角互化策略。在处理含有“正弦与余弦混合积”的题干时，直接使用余弦定理进行“角化边”通常比“边化角”更具针对性。
3. 避坑指南：在约去分母 $2b$ 以及最后求解二次方程 $b^2-4b=0$ 时，必须结合三角形边长大于零的实际物理背景，切勿漏掉对 $b>0$ 的检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为高考解三角形板块的经典一问解答题，考查双定理的联立化简能力，属于基础送分题型。
2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，若 $\sin A\cos C=k\cos A\sin C$，利用同样的方法可以推广得到其三边通用的代数关系式为：$(k+1)(a^2-c^2)=(k-1)b^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形