2009-天津卷理-13 填-参数方程

本题导读

本题考查直线的参数方程向普通方程的转化，以及平行直线间距离的计算。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） 设直线 $l_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+3t\end{array}$ ($t$ 为参数), 直线 $l_2$ 的方程为 $y=3x+4$, 则 $l_1$ 与 $l_2$ 的距离为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将直线 $l_1$ 的参数方程消去参数 $t$，转化为普通方程。

2. 观察两直线斜率是否相等，确认平行关系后，利用两条平行直线间的距离公式求解。

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$\frac{3\sqrt{10}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

由直线 $l_1$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+3t\end{array}$，将第一式变形为 $t=x-1$ 代入第二式： $y=1+3(x-1)⟹y=3x-2⟹3x-y-2=0$ 直线 $l_2$ 的方程化为一般式为： $3x-y+4=0$ 因为两直线系数对应相等（斜率均为 3），两直线平行。 根据平行直线间的距离公式， $l_1$ 与 $l_2$ 的距离为： $d=\frac{|4-(-2)|}{\sqrt{3^2+(-1{)}^2}}=\frac{6}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$ 答案为：$\frac{3\sqrt{10}}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线的参数方程与一般方程的互化、平行线间距离公式的运用。

2. 核心方法：代入消参法，公式法。

3. 避坑指南：使用平行线间距离公式 $d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 时，必须确保两条直线的 $A$ 和 $B$ 系数已经化为完全相同，否则会造成公式套用错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是坐标系与参数方程选考内容的常规基础题，或解析几何解析直线的综合小题。

2. 结论推广: 两平行直线 $Ax+By+C_1=0$ 与 $Ax+By+C_2=0$ 之间的距离通式为 $d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-05 填-参数方程
• 2011-广东卷文-14 填-参数方程交点
• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标