2009-广东卷文-18 解-茎叶图与方差

本题导读

考查统计与概率。甲均值 $170$、乙均值 $171.1$；甲方差 $57.2$；身高 $176$ 者被抽中概率 $\frac{{\mathrm{C}}_4^1}{{\mathrm{C}}_5^2}=\frac{2}{5}$。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(文)） 随机抽取某中学甲、乙两班各 $10$ 名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

(2)计算甲班的样本方差；

(3)现从乙班这 $10$ 名同学中随机抽取两名身高不低于 $173$ cm 的同学，求身高为 $176$ cm 的同学被抽中的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）甲班数据 $182$，$179$，$179$，$171$，$170$，$168$，$168$，$163$，$162$，$158$，均值 $170$； 乙班 $181$，$179$，$178$，$176$，$173$，$170$，$168$，$165$，$162$，$159$，均值 $171.1$，乙班较高。 2.（2）偏差平方和 $12^2+9^2+9^2+1^2+0^2+2^2+2^2+7^2+8^2+12^2=572$，方差 $57.2$。 3.（3）乙班不低于 $173$ cm 的有 $173$，$176$，$178$，$179$，$181$ 共 $5$ 人，取 $2$ 人 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 种。 4. 含 $176$ 的取法 ${\mathrm{C}}_4^1=4$ 种，概率 $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。

✅【答案】

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(1) 乙班较高；(2)$57.2$；(3)$\frac{2}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由茎叶图，甲班的身高数据为 $182$，$179$，$179$，$171$，$170$，$168$，$168$，$163$，$162$，$158$， 其平均数为 ${\bar{x}}_{甲}=\frac{1700}{10}=170$。 乙班的身高数据为 $181$，$179$，$178$，$176$，$173$，$170$，$168$，$165$，$162$，$159$， 其平均数为 ${\bar{x}}_{乙}=\frac{1711}{10}=171.1$。因为 $171.1>170$，所以乙班的平均身高较高。 （2）甲班的样本方差为 $s^2=\frac{1}{10}\left[12^2+9^2+9^2+1^2+0^2+2^2+2^2+7^2+8^2+12^2\right]=\frac{572}{10}=57.2$。 （3）乙班身高不低于 $173$ cm 的同学有 $173$，$176$，$178$，$179$，$181$，共 $5$ 人。 任取其中 $2$ 人，所有等可能的取法共有 ${\mathrm{C}}_5^2$ 种； 含有身高 $176$ cm 同学的取法共有 ${\mathrm{C}}_4^1$ 种。 因此所求概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_4^1}{{\mathrm{C}}_5^2}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：茎叶图读数与数字特征

核心方法：茎=百位与十位、叶=个位；均值、方差按定义逐项算

避坑指南：甲班和 $1700$、乙班和 $1711$；甲方差偏差平方和 $572$，除以 $10$ 得 $57.2$（除 $n$ 不除 $n-1$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：茎叶图两侧读数方向相反（甲向左、乙向右），别读串。

结论推广：方差用偏差平方和除以样本容量 $n$。

方法推广：古典概型先列”全部取法 ${\mathrm{C}}_5^2$“，再数有利取法 ${\mathrm{C}}_4^1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-14 填-频率分布直方图
• 2009-湖北卷文-15 填-频率分布直方图
• 2012-湖北卷文-02 单-频率分布表
• 2011-四川卷文-02 单-频率分布估计