2009-新课标卷文-17 解-海域测量向量夹角

本题导读

以海域测量为背景的解三角形应用题。海底各点共面（同一竖直面），建立坐标系写出 $D$，$E$，$F$ 坐标，用向量夹角公式直接求 $\cos \angle DEF$。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 $A$，$B$，$C$ 三点进行测量，已知 $AB=50\mathrm{m}$，$BC=120\mathrm{m}$，于 $A$ 处测得水深 $AD=80\mathrm{m}$，于 $B$ 处测得水深 $BE=200\mathrm{m}$，于 $C$ 处测得水深 $CF=110\mathrm{m}$，求 $\angle DEF$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. $A$，$B$，$C$ 及 $D$，$E$，$F$ 均在同一竖直平面内，建系：海平面为 $x$ 轴，$A$ 为原点，竖直向下为 $z$ 轴负方向。
2. 写出 $D$，$E$，$F$ 的坐标，求 $\overrightarrow{ED}$，$\overrightarrow{EF}$。
3. 用夹角公式 $\cos \angle DEF=\frac{\overrightarrow{ED}\cdot \overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{ED}||\overrightarrow{EF}|}$。

✅【答案】

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$\frac{16}{65}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点、$AB$ 方向为 $x$ 轴正方向、竖直向下为 $z$ 轴负方向建立空间直角坐标系（竖直向上为 $z$ 轴正方向），则 $A=(0,0,0),B=(50,0,0),C=(170,0,0),$ $D=(0,0,-80),E=(50,0,-200),F=(170,0,-110).$ 于是 $\overrightarrow{ED}=(-50,0,120),\overrightarrow{EF}=(120,0,90).$ $\overrightarrow{ED}\cdot \overrightarrow{EF}=(-50)\times 120+120\times 90=4800,$ $|\overrightarrow{ED}|=\sqrt{50^2+120^2}=130,|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{120^2+90^2}=150.$ 所以 $\cos \angle DEF=\frac{\overrightarrow{ED}\cdot \overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{ED}||\overrightarrow{EF}|}=\frac{4800}{130\times 150}=\frac{16}{65}.$ 故 $\angle DEF$ 的余弦值为 $\frac{16}{65}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量求夹角

核心方法：建系 + 坐标 + 夹角公式

避坑指南：竖直方向坐标的符号要统一（取竖直向上为正则水深取负），点积与模长别算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：测量类应用题可整体坐标系化，向量夹角一步到位。

结论推广：$\cos \angle DEF=\frac{\overrightarrow{ED}\cdot \overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{ED}||\overrightarrow{EF}|}$。

方法推广：先把三组数据（水平距离、水深）转为坐标，再代公式，比纯几何法稳妥。

🔗【关联脉络】

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• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高
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