2009-江苏卷-17 解-等差数列整除分析

本题导读

考查等差数列。(1) $2a_3+d=0$ 与 $a_1+3d=1$ 联立得 $a_n=2n-7$；(2) $\frac{a_m{a}_{m+1}}{a_{m+2}}=t+\frac{8}{t}-6$ 须为项，$t\mid 8$ 且 $t$ 奇，$m=2$。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） 设 $\{a_n\}$ 是公差不为零的等差数列，$S_n$ 为其前 $n$ 项和，满足 $a_2^2+a_3^2=a_4^2+a_5^2$，$S_7=7$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_n$；

(2) 试求所有的正整数 $m$，使得 $\frac{a_m{a}_{m+1}}{a_{m+2}}$ 为数列 $\{a_n\}$ 中的项.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 记 $a_3=u$，则 $(u-d{)}^2+u^2=(u+d{)}^2+(u+2d{)}^2$，化简 $2a_3+d=0$；又 $S_7=7(a_1+3d)=7$。
2. (2) 令 $t=2m-3$（奇数），$\frac{a_m{a}_{m+1}}{a_{m+2}}=\frac{(t-4)(t-2)}{t}=t+\frac{8}{t}-6$，须为整数，$t\mid 8$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $a_n=2n-7$，$S_n=n^2-6n$；(2) $m=2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设公差为 $d$（$d\ne 0$）。记 $a_3=u$，则 $a_2=u-d$，$a_4=u+d$，$a_5=u+2d$。 由 $(u-d{)}^2+u^2=(u+d{)}^2+(u+2d{)}^2$，化简得 $-4d(2u+d)=0$。因为 $d\ne 0$，所以 $2a_3+d=0$，即 $2a_1+5d=0$。 另一方面，$S_7=\frac{7}{2}(2a_1+6d)=7(a_1+3d)=7$，所以 $a_1+3d=1$。 联立解得 $d=2$，$a_1=-5$。因此 $a_n=2n-7$，$S_n=n^2-6n$。 (2) $\frac{a_m{a}_{m+1}}{a_{m+2}}=\frac{(2m-7)(2m-5)}{2m-3}$。令 $t=2m-3$，则 $t$ 是奇数且 $t⩾-1$，并且 $\frac{a_m{a}_{m+1}}{a_{m+2}}=\frac{(t-4)(t-2)}{t}=t+\frac{8}{t}-6$。 若该数是数列中的项，则它必须是整数，所以 $t\mid 8$。由于 $t$ 是奇数，只可能有 $t=1$ 或 $t=-1$。 当 $t=1$ 时，$m=2$，上式的值为 $3=a_5$，符合；当 $t=-1$ 时，$m=1$，上式的值为 $-15$，而 $a_n=2n-7$ 无正整数 $n$ 使其成立，舍去。 故满足条件的正整数为 $m=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与整除

核心方法：对称项化简 + 令 $t=2m-3$ 分析 $t\mid 8$

避坑指南：$t$ 是奇数，$8$ 的奇约数只有 $\pm 1$，一步锁死 $m$ 的范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“数列中的项”问题归结为整除或整数性。

结论推广：$\frac{(t-4)(t-2)}{t}=t+\frac{8}{t}-6$ 的裂项是关键变形。

方法推广：$t=-1$ 时值为 $-15$，必须用通项检验它不是项，别只算 $t=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和
• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和
• 2011-江西卷文-05 单-等差数列和差定首项