2009-湖南卷文-04 单-中点向量和

本题导读

考查向量中点表示。$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\frac{\mathbf{b}-\mathbf{a}+\mathbf{c}-\mathbf{b}+\mathbf{a}-\mathbf{c}}{2}=0$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 如图，$D$，$E$，$F$ 分别是 $△ABC$ 的边 $AB$，$BC$，$CA$ 的中点，则 ()

A. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=0$　B. $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{DF}=0$　C. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{CF}=0$　D. $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{FC}=0$

🔍【思路分析】

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1. 设 $\mathbf{a}=\overrightarrow{OA}$，$\mathbf{b}=\overrightarrow{OB}$，$\mathbf{c}=\overrightarrow{OC}$。
2. 中点公式：$\overrightarrow{AD}=\frac{\mathbf{b}-\mathbf{a}}{2}$，$\overrightarrow{BE}=\frac{\mathbf{c}-\mathbf{b}}{2}$，$\overrightarrow{CF}=\frac{\mathbf{a}-\mathbf{c}}{2}$。
3. 三式相加为零，验证 A 成立；再核对其余各项不为零。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

取 $A$，$B$，$C$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$，$\mathbf{c}$，由中点公式 $\overrightarrow{AD}=\frac{\mathbf{b}-\mathbf{a}}{2}$，$\overrightarrow{BE}=\frac{\mathbf{c}-\mathbf{b}}{2}$，$\overrightarrow{CF}=\frac{\mathbf{a}-\mathbf{c}}{2}$。 于是 $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\frac{\mathbf{b}-\mathbf{a}+\mathbf{c}-\mathbf{b}+\mathbf{a}-\mathbf{c}}{2}=0$，A 成立。 对 B：$\overrightarrow{BD}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}-\mathbf{b}$，代入验证不为零；同理 C、D 不成立。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量中点公式与线性运算

核心方法：设位置向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$，$\mathbf{c}$，中点向量各写一半

避坑指南：$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\frac{\mathbf{b}-\mathbf{a}+\mathbf{c}-\mathbf{b}+\mathbf{a}-\mathbf{c}}{2}=0$，分子自动消尽。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形三边中点向量循环相加必为零，可作结论记住。

结论推广：验证其余选项时抓一个坐标分量即可否定，不必全套展开。

方法推广：方向向量别混：$\overrightarrow{FC}=-\overrightarrow{CF}$，D 选项三个向量不成环。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-02 单-向量共线
• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角
• 2009-大纲卷II文-06 单-向量模长
• 2009-安徽卷文-14 填-向量基底分解