2009-湖南卷文-16 解-向量共线与模

本题导读

考查向量与三角综合。（1）$2\sin \theta -(\cos \theta -2\sin \theta )=0$ 得 $\tan \theta =\frac{1}{4}$；（2）${\sin }^2\theta -\sin \theta \cos \theta =1$，分类得 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 或 $\frac{3\pi }{4}$。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 已知向量 $\mathbf{a}=(\sin \theta ,\cos \theta -2\sin \theta )$，$\mathbf{b}=(1,2)$.

(1)若 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$，求 $\tan \theta$ 的值；

(2)若 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$，$0<\theta <\pi$，求 $\theta$ 的值.

🔍【思路分析】

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1.（1）$\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}\Rightarrow \sin \theta \times 2-(\cos \theta -2\sin \theta )\times 1=0$，即 $4\sin \theta =\cos \theta$。 2. $\cos \theta =0$ 时上式不成立，故 $\tan \theta =\frac{1}{4}$。 3.（2）$|\mathbf{a}{|}^2=|\mathbf{b}{|}^2=5$：${\sin }^2\theta +(\cos \theta -2\sin \theta {)}^2=5$，展开整理 ${\sin }^2\theta -\sin \theta \cos \theta =1$。 4. $\cos \theta =0$ 时 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 满足；$\cos \theta \ne 0$ 时除以 ${\cos }^2\theta$ 得 ${\tan }^2\theta -\tan \theta =1+{\tan }^2\theta$，$\tan \theta =-1$，$\theta =\frac{3\pi }{4}$。

✅【答案】

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(1) $\tan \theta =\frac{1}{4}$；(2)$\theta =\frac{\pi }{2}$ 或 $\theta =\frac{3\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$，两向量对应坐标成比例（行列式为零）： $\sin \theta \times 2-(\cos \theta -2\sin \theta )\times 1=0$，即 $4\sin \theta -\cos \theta =0$。 若 $\cos \theta =0$，上式不成立，故 $\cos \theta \ne 0$，从而 $\tan \theta =\frac{1}{4}$。 （2）由 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$，得 ${\sin }^2\theta +(\cos \theta -2\sin \theta {)}^2=1^2+2^2=5$， 展开整理得 ${\sin }^2\theta -\sin \theta \cos \theta =1$。 当 $\cos \theta =0$ 时，结合 $0<\theta <\pi$，可得 $\theta =\frac{\pi }{2}$，且它满足上式； 当 $\cos \theta \ne 0$ 时，两边同除以 ${\cos }^2\theta$，得 ${\tan }^2\theta -\tan \theta =1+{\tan }^2\theta$，所以 $\tan \theta =-1$， 在 $0<\theta <\pi$ 内 $\theta =\frac{3\pi }{4}$。 综上，$\theta =\frac{\pi }{2}$ 或 $\theta =\frac{3\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量共线与模长的坐标运算

核心方法：共线用行列式为零；模相等平方展开，按 $\cos \theta$ 是否为零分类

避坑指南：$4\sin \theta =\cos \theta$ 得 $\tan \theta =\frac{1}{4}$；${\sin }^2\theta -\sin \theta \cos \theta =1$ 分类得 $\frac{\pi }{2}$ 与 $\frac{3\pi }{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：（1）式两边同除 $\cos \theta$ 前必须说明 $\cos \theta \ne 0$。

结论推广：（2）除以 ${\cos }^2\theta$ 后左边出现 ${\sec }^2\theta =1+{\tan }^2\theta$，二次项恰好消去才得一次解。

方法推广：$\theta =\frac{\pi }{2}$ 这类”分母为零”的解最容易漏，分类讨论是对它的保险。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数
• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角
• 2009-北京卷文-02 单-向量共线