2009-湖南卷文-20 解-椭圆中点弦

本题导读

考查椭圆综合。（1）$b=c=2$，方程 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；（2）中点条件化为 $2k^2\pm 2k-1⩽0$，与 $\Delta >0$ 交集为 $\left[-\frac{\sqrt{3}-1}{2},\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right]$。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 已知椭圆 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 $8$ 的正方形（记为 $Q$）.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)设点 $P$ 是椭圆 $C$ 的左准线与 $x$ 轴的交点，过点 $P$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M$，$N$ 两点.当线段 $MN$ 的中点落在正方形 $Q$ 内（包括边界）时，求直线 $l$ 的斜率的取值范围.

🔍【思路分析】

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1.（1）正方形顶点 $(\pm c,0)$，$(0,\pm b)$，对角线 $2c$，$2b$ 相等得 $b=c$；面积 $2bc=8$，故 $b=c=2$，$a^2=8$。 2.（2）左准线 $x=-\frac{a^2}{c}=-4$，$P=(-4,0)$；设 $l:y=k(x+4)$。 3. 联立 $(1+2k^2)x^2+16k^{2}x+32k^2-8=0$，$\Delta >0\Rightarrow |k|<\frac{1}{\sqrt{2}}$。 4. 中点 $x_0=-\frac{8k^2}{1+2k^2}$，$y_0=\frac{4k}{1+2k^2}$；$x_0⩽0$，落在 $Q$ 内等价于 $y_0⩽x_0+2$ 且 $y_0⩾-x_0-2$。 5. 化简得 $2k^2+2k-1⩽0$ 且 $2k^2-2k-1⩽0$，交集 $\left[-\frac{\sqrt{3}-1}{2},\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right]$，且包含于 $|k|<\frac{1}{\sqrt{2}}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；(2)$\left[-\frac{\sqrt{3}-1}{2},\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），半焦距为 $c$，$a^2=b^2+c^2$。 正方形 $Q$ 的四个顶点为 $(\pm c,0)$，$(0,\pm b)$，对角线长分别为 $2c$，$2b$， 由对角线相等得 $b=c$，由面积为 $8$ 得 $2bc=8$，故 $b=c=2$，$a^2=8$。 因此 $C:\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$。 （2）椭圆的左准线为 $x=-\frac{a^2}{c}=-4$，故 $P=(-4,0)$。设直线 $l$ 的斜率为 $k$，则 $y=k(x+4)$。 代入椭圆方程，得 $(1+2k^2)x^2+16k^{2}x+32k^2-8=0$。 设两根为 $x_1$，$x_2$，由韦达定理，弦 $MN$ 的中点 $G=(x_0,y_0)$ 满足 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{8k^2}{1+2k^2}$，$y_0=k(x_0+4)=\frac{4k}{1+2k^2}$。 两交点存在的条件为 $\Delta =32(1-2k^2)>0$，即 $|k|<\frac{1}{\sqrt{2}}$。 正方形 $Q$ 的边界由 $|x|+|y|=2$ 给出。因为 $x_0⩽0$，点 $G$ 落在 $Q$ 内（包括边界） 等价于 $y_0⩽x_0+2$ 且 $y_0⩾-x_0-2$。 代入 $x_0$，$y_0$，分别得到 $2k^2+2k-1⩽0$，$2k^2-2k-1⩽0$， 两不等式的解集交为 $\left[-\frac{\sqrt{3}-1}{2},\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right]$。 该区间包含于 $|k|<\frac{1}{\sqrt{2}}$，其中每个斜率都确实使直线与椭圆有两个交点。 故直线 $l$ 的斜率取值范围为 $\left[-\frac{\sqrt{3}-1}{2},\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与中点弦的范围问题

核心方法：正方形定 $b=c$；韦达定理表中点，几何条件化不等式

避坑指南：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；中点条件 $2k^2\pm 2k-1⩽0$，与 $\Delta >0$ 交集为对称区间 $\pm \frac{\sqrt{3}-1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“正方形面积 $8$“给出 $2b\times 2c÷2=8$，对角线相等给 $b=c$，两个条件各管一摊。

结论推广：中点在 $|x|+|y|⩽2$ 内：先判 $x_0$ 的符号，把绝对值拆成两条线性不等式。

方法推广：求出的斜率范围必须与 $\Delta >0$ 取交，验证”每个斜率都有交点”才完整。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-22 解-椭圆存在点与直线
• 2009-天津卷文-22 解-椭圆平行比例与外接圆
• 2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形
• 2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积