2009-福建卷文-11 单-函数零点估算

本题导读

考查零点估算。$g\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{2}-\frac{3}{2}<0$，$g\left(\frac{1}{3}\right)>0$，零点 $\xi \in \left(\frac{1}{4},\frac{1}{3}\right)$；$f(x)=4^x-1$ 的零点 $\frac{1}{4}$ 与 $\xi$ 之差小于 $\frac{1}{12}<0.25$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(文)） 函数 $f(x)$ 的零点与 $g(x)=4^x+2^x-2$ 的零点之差的绝对值不超过 $0.25$，则 $f(x)$ 可以是 ()

A. $f(x)=4^x-1$　B. $f(x)=(x-1{)}^2$　C. $f(x)={\mathrm{e}}^x-1$　D. $f(x)=\ln \left(x-\frac{1}{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $g^{\prime }(x)=4^x\ln 4+2>0$，$g$ 单调递增，零点唯一，记为 $\xi$。
2. $g\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{2}+\frac{1}{2}-2=\sqrt{2}-\frac{3}{2}<0$（$\sqrt{2}<\frac{3}{2}$），$g\left(\frac{1}{3}\right)=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-2>0$，故 $\frac{1}{4}<\xi <\frac{1}{3}$。
3. 选项 A 的零点为 $\frac{1}{4}$，$|\xi -\frac{1}{4}|<\frac{1}{12}<0.25$，符合；B 的零点 $1$、C 的零点 $0$、D 的零点 $\frac{3}{2}$ 与 $\xi$ 的距离均超过 $0.25$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

令 $g(x)=4^x+2^x-2$。因为 $g^{\prime }(x)=4^x\ln 4+2>0$，所以 $g$ 只有一个零点，记为 $\xi$。 又 $g\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{2}+\frac{1}{2}-2=\sqrt{2}-\frac{3}{2}<0$，且 $g\left(\frac{1}{3}\right)=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-2>0$， 其中 $\sqrt{2}<\frac{3}{2}$，$4>{\left(\frac{4}{3}\right)}^3$，所以 $\frac{1}{4}<\xi <\frac{1}{3}$。 选项 A 的零点为 $\frac{1}{4}$，且 $\left|\xi -\frac{1}{4}\right|<\frac{1}{12}<\frac{1}{4}$，符合条件。 选项 B 的零点为 $1$，与 $\xi$ 的距离大于 $\frac{2}{3}$；选项 C 的零点为 $0$，而 $\xi >\frac{1}{4}$； 选项 D 的零点为 $\frac{3}{2}$，与 $\xi$ 的距离也大于 $\frac{1}{4}$。因此只有 A 满足条件，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的零点与零点存在定理

核心方法：单调定唯一 + 端点夹逼估算

避坑指南：$g^{\prime }(x)=4^x\ln 4+2>0$ 保证零点唯一；$g\left(\frac{1}{4}\right)<0<g\left(\frac{1}{3}\right)$ 给出 $\xi \in \left(\frac{1}{4},\frac{1}{3}\right)$，再逐一算选项零点与 $\xi$ 的距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：零点估算题的两板斧：先证唯一，再夹逼区间。

结论推广：$4^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{3}}>2$ 这类不等式用立方比较即可判断。

方法推广：“零点之差不超过 $0.25$“是对距离的约束，四个选项逐一算距离最稳妥。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-10 单-零点所在区间
• 2011-山东卷文-16 填-函数零点区间
• 2012-北京卷文-05 单-函数零点个数