2009-辽宁卷文-02 单-复数除法

本题导读

考查复数除法。$\frac{1}{1-2\mathrm{i}}$ 同乘共轭 $(1+2\mathrm{i})$，分母化为 $5$，得 $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\mathrm{i}$。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 已知复数 $z=1-2\mathrm{i}$，那么 $\frac{1}{z}=$ ()

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}\mathrm{i}$　　　　B. $\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}\mathrm{i}$　　　　C. $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\mathrm{i}$　　　　D. $\frac{1}{5}-\frac{2}{5}\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\frac{1}{z}=\frac{1}{1-2\mathrm{i}}=\frac{1+2\mathrm{i}}{(1-2\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})}$。
2. 分母 $1+4=5$，得 $\frac{1+2\mathrm{i}}{5}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1}{z}=\frac{1}{1-2\mathrm{i}}=\frac{1+2\mathrm{i}}{(1-2\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})}=\frac{1+2\mathrm{i}}{1+4}=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\mathrm{i}$， 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法运算

核心方法：分母实数化

避坑指南：$\frac{1}{1-2\mathrm{i}}$ 的共轭是 $1+2\mathrm{i}$，分母 $(1{)}^2+(2{)}^2=5$，结果是 $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\mathrm{i}$ 而非带根号的系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法是全卷首题常客。

结论推广：$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$。

方法推广：选项里混入 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 的干扰项是模长 $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{\sqrt{5}}{5}$，别把模当成结果。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算
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