2011-天津卷文-01 单-复数除法运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数除法。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 复数 $\frac{1-3i}{1-i}=$ ()

A. $2-i$　　　　　B. $2+i$　　　　　C. $-1-2i$　　　　　D. $-1+2i$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：分母实数化：分子分母同乘 $1+i$
2. 步骤2：展开合并

✅【答案】

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A原式 $=2-i$

✍【详细解析】

Abstract

分子分母同乘 $1+i$：$(1-3i)(1+i)=1+i-3i-3i^2=4-2i$，$(1-i)(1+i)=1-i^2=2$。

故原式 $=\frac{4-2i}{2}=2-i$。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数除法（分母实数化）；$i^2=-1$

核心方法：乘共轭：$\frac{a+bi}{c+di}$ 分子分母同乘 $c-di$，展开时把 $i^2=-1$ 及时替换

避坑指南：$(1-3i)(1+i)$ 展开共四项：$1$、$i$、$-3i$、$-3i^2=+3$，合并为 $4-2i$；漏掉 $-3i^2$ 的符号或忘记除以 $2$ 都会选错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法是卷首高频题，与 2012-天津卷文-01、2011-北京卷文-02、2012-新课标卷文-02 同族。

结论推广：推广：结果实部虚部可先估模长——本题分子模 $\sqrt{10}$、分母模 $\sqrt{2}$，商模 $\sqrt{5}=|2-i|$，可用于快速检验。

方法推广：复数小题：先分母实数化，再核对实部虚部；用模长关系快速验证选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-01 单-复数除法运算
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算
• 2012-新课标卷文-02 单-复数的除法运算