2009-辽宁卷文-03 单-等差数列基本量

本题导读

考查等差数列。 $a_{7} = a_{3} + 4 d$ ， $a_{4} = a_{3} + d$ ，代入 $a_{7} - 2 a_{4} = - 1$ 得 $2 d = - 1$ 。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{7} - 2 a_{4} = - 1$ ， $a_{3} = 0$ ，则公差 $d =$ ()

A. $- 2$ 　　　　　　　B. $- \frac{1}{2}$ 　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$ 　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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用 $a_{3}$ 表示： $a_{7} = a_{3} + 4 d$ ， $a_{4} = a_{3} + d$ 。

代入： $a_{3} + 4 d - 2 (a_{3} + d) = - 1 \Rightarrow 2 d = - 1$ （ $a_{3}$ 恰好消去）。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由等差数列通项公式： $a_{7} = a_{3} + 4 d$ ， $a_{4} = a_{3} + d$ 。代入 $a_{7} - 2 a_{4} = - 1$ ： $(a_{3} + 4 d) - 2 (a_{3} + d) = - 1$ ，即 $- a_{3} + 2 d = - 1$ 。由 $a_{3} = 0$ 得 $2 d = - 1$ ，故 $d = - \frac{1}{2}$ ，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的基本量

核心方法：通项公式统一到 $a_{3}$ 与 $d$

避坑指南： $a_{7} = a_{3} + 4 d$ 、 $a_{4} = a_{3} + d$ 的脚标差是 $4$ 和 $1$ ，别把 $a_{7} - 2 a_{4}$ 展开时漏掉 $2$ 倍的 $d$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列基本量方程是数列题第一台阶。

结论推广： $a_{n} = a_{m} + (n - m) d$ 。

方法推广：已知 $a_{3} = 0$ 恰好让 $a_{3}$ 消去，只剩 $2 d = - 1$ ；用 $a_{1}$ 、 $d$ 联立也可，但计算量更大。

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2009-新课标卷文-08 单-等差数列中项求和

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