2009-重庆卷文-01 单-圆的方程

本题导读

考查圆的标准方程。圆心 $(0,k)$，$1+(2-k{)}^2=1$ 得 $k=2$，方程为 $x^2+(y-2{)}^2=1$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） 圆心在 $y$ 轴上，半径为 $1$，且过点 $(1,2)$ 的圆的方程为 ()

A. $x^2+(y-2{)}^2=1$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $x^2+(y+2{)}^2=1$

C. $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $x^2+(y-3{)}^2=1$

🔍【思路分析】

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1. 圆心在 $y$ 轴上，设圆心为 $(0,k)$。
2. 半径为 $1$ 且过 $(1,2)$：$1^2+(2-k{)}^2=1$。
3. 解得 $k=2$，方程为 $x^2+(y-2{)}^2=1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设圆心为 $(0,k)$，由圆的半径为 $1$ 且过点 $(1,2)$，得 $1+(2-k{)}^2=1,$ 所以 $k=2$，圆的方程为 $x^2+(y-2{)}^2=1$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的标准方程

核心方法：圆心 $(0,k)$ 待定，半径条件列方程

避坑指南：$1+(2-k{)}^2=1$ 中左边的 $1$ 是 $1^2$（横坐标差的平方），别误写成 $(2-k{)}^2=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆心在轴上的题，设一个参数即可，无需两个未知数。

结论推广：选项 B 的圆心 $(0,-2)$ 也过 $(1,2)$？代入：$1+16=17\ne 1$，排除。

方法推广：标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 中符号与圆心坐标相反。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-13 填-圆的方程
• 2011-辽宁卷文-13 填-圆的方程弦等距
• 2011-广东卷文-08 单-圆心轨迹抛物线
• 2011-新课标卷文-20 解-圆的方程与垂直条件