2009-重庆卷文-21 解-递推数列放缩

本题导读

考查递推数列与放缩。（1）$b_1=4$，$b_2=\frac{17}{4}$，$b_3=\frac{72}{17}$；（2）$b_n⩾4$ 故 $c_n=4b_n+1⩾17$，$S_n⩾17n$；（3）$|b_{k+1}-b_k|=\frac{1}{a_{k+1}{a}_k}$，$a_{k+1}{a}_k⩾4\cdot 17^{k-1}$，求和放大为等比级数得证。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） 已知 $a_1=1$，$a_2=4$，$a_{n+2}=4a_{n+1}+a_n$，$b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

(1)求 $b_1,b_2,b_3$ 的值；

(2)设 $c_n=b_n{b}_{n+1}$，$S_n$ 为数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和，求证：$S_n⩾17n$；

(3)求证：$|b_{2n}-b_n|<\frac{1}{64}\cdot \frac{1}{17^{n-2}}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）$a_3=4\times 4+1=17$，$a_4=4\times 17+4=72$；$b_1=4$，$b_2=\frac{17}{4}$，$b_3=\frac{72}{17}$。 2.（2）$c_n=b_n{b}_{n+1}=\frac{a_{n+2}}{a_n}=4b_n+1$；又 $b_{n+1}=4+\frac{1}{b_n}>4$，$b_1=4$，故 $b_n⩾4$，$c_n⩾17$。 3.（3）令 $D_k=a_{k+2}{a}_k-a_{k+1}^2$，由递推得 $D_{k+1}=-D_k$，$D_1=17-16=1$，故 $|D_k|=1$。 4. $|b_{k+1}-b_k|=\frac{|D_k|}{a_{k+1}{a}_k}=\frac{1}{a_{k+1}{a}_k}$。 5. 记 $P_k=a_{k+1}{a}_k$，$\frac{P_{k+1}}{P_k}=\frac{a_{k+2}}{a_k}=c_k⩾17$，$P_1=4$，故 $P_k⩾4\cdot 17^{k-1}$。 6. $|b_{2n}-b_n|⩽{\sum }_{k=n}^{2n-1}\frac{1}{P_k}⩽\frac{1}{4}{\sum }_{k=n}^{+\infty }\frac{1}{17^{k-1}}=\frac{1}{64}\cdot \frac{1}{17^{n-2}}$。

✅【答案】

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(1) $b_1=4$，$b_2=\frac{17}{4}$，$b_3=\frac{72}{17}$；(2)(3)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）由递推关系， $a_3=4a_2+a_1=4\times 4+1=17,a_4=4a_3+a_2=4\times 17+4=72.$ 所以 $b_1=\frac{a_2}{a_1}=4,b_2=\frac{a_3}{a_2}=\frac{17}{4},b_3=\frac{a_4}{a_3}=\frac{72}{17}.$ （2）由定义， $c_n=b_n{b}_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+2}}{a_n}=\frac{4a_{n+1}}{a_n}+1=4b_n+1.$ 所有 $a_n$ 均为正数，且 $b_{n+1}=\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=4+\frac{a_n}{a_{n+1}}>4$。 结合 $b_1=4$，可知 $b_n⩾4$，于是 $c_n=4b_n+1⩾17$。因此 $S_n={\sum }_{k=1}^n{c}_k⩾{\sum }_{k=1}^{n}17=17n.$ （3）令 $D_k=a_{k+2}{a}_k-a_{k+1}^2$。由递推关系 $a_k=a_{k+2}-4a_{k+1}$，有 $D_{k+1}=a_{k+3}{a}_{k+1}-a_{k+2}^2=(4a_{k+2}+a_{k+1})a_{k+1}-a_{k+2}^2=-D_k.$ 又 $D_1=a_3{a}_1-a_2^2=17-16=1$，所以 $|D_k|=1$。从而 $|b_{k+1}-b_k|=\left|\frac{a_{k+2}}{a_{k+1}}-\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{|D_k|}{a_{k+1}{a}_k}=\frac{1}{a_{k+1}{a}_k}.$ 记 $P_k=a_{k+1}{a}_k$，则 $\frac{P_{k+1}}{P_k}=\frac{a_{k+2}}{a_k}=b_k{b}_{k+1}=c_k⩾17$。 因为 $P_1=a_2{a}_1=4$，所以 $P_k⩾4\cdot 17^{k-1}$。于是 $|b_{2n}-b_n|⩽{\sum }_{k=n}^{2n-1}|b_{k+1}-b_k|={\sum }_{k=n}^{2n-1}\frac{1}{P_k}⩽\frac{1}{4}{\sum }_{k=n}^{2n-1}\frac{1}{17^{k-1}}<\frac{1}{4}{\sum }_{k=n}^{+\infty }\frac{1}{17^{k-1}}=\frac{1}{64}\cdot \frac{1}{17^{n-2}}.$ 这就证明了所要结论。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列与放缩证明

核心方法：（2）$c_n=4b_n+1$ 且 $b_n⩾4$；（3）构造交错不变量 $D_k$，$|D_k|=1$

避坑指南：$|b_{k+1}-b_k|=\frac{1}{a_{k+1}{a}_k}$，而 $a_{k+1}{a}_k⩾4\cdot 17^{k-1}$，裂项差 $\sum$ 放大为等比级数求和。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相邻比值数列 $b_n$ 满足 $b_{n+1}=4+\frac{1}{b_n}$，下界 $4$ 来自不动点方程 $x=4+\frac{1}{x}$。

结论推广：构造 $D_k=a_{k+2}{a}_k-a_{k+1}^2$ 证 $|D_k|$ 为常数，是二阶线性递推的常用技巧（类卡西尼恒等式）。

方法推广：${\sum }_{k=n}^{+\infty }\frac{1}{17^{k-1}}=\frac{17}{16}\cdot \frac{1}{17^{n-1}}$，系数 $\frac{17}{16}\times \frac{1}{4}=\frac{17}{64}$ 正好凑出 $\frac{1}{64}\cdot \frac{1}{17^{n-2}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-21 解-B数列新定义
• 2009-广东卷文-20 解-数列递推裂项
• 2011-天津卷文-20 解-奇偶递推数列与放缩
• 2009-北京卷文-20 解-新定义数列存在性