2009-陕西卷文-06 单-赋值法求系数和

本题导读

考查赋值法。$x=\frac{1}{2}$ 时左端为 $0$，即 $a_0+\frac{a_1}{2}+\cdots +\frac{a_{2009}}{2^{2009}}=0$，所求 $=-a_0=-1$，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 若 $(1-2x{)}^{2009}=a_0+a_{1}x+\cdots +a_{2009}{x}^{2009}$（$x\in \mathbf{R}$），则 $\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\cdots +\frac{a_{2009}}{2^{2009}}$ 的值为 ()

A. $2$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　D. $-2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $x=0$：$a_0=1$。
2. 令 $x=\frac{1}{2}$：$0=a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\cdots +\frac{a_{2009}}{2^{2009}}$。
3. 所求 $=0-a_0=-1$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

在展开式中令 $x=0$，得 $a_0=1$。 令 $x=\frac{1}{2}$，得 $0={\left(1-2\times \frac{1}{2}\right)}^{2009}=a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\cdots +\frac{a_{2009}}{2^{2009}}.$ 所以 $\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\cdots +\frac{a_{2009}}{2^{2009}}=0-a_0=-1.$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式的系数加权和

核心方法：赋值 $x=\frac{1}{2}$ 使左端为 $0$，再扣去 $a_0$

避坑指南：所求式不含 $a_0$ 项，必须先求 $a_0=1$ 再从总和中减去，漏减 $a_0$ 得 $0$ 是最常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：恒等式赋值是求系数和的通法：$x=1$ 得系数和、$x=-1$ 得交错和、$x=0$ 得常数项。

结论推广：目标式含 $\frac{1}{2^k}$ 权重时，赋值 $x=\frac{1}{2}$ 使每项恰为所求。

方法推广：目标式缺哪项就补哪项再扣回——“补全再减”是赋值法的标准收尾。

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