2009-陕西卷文-16 填-容斥原理计数

本题导读

考查容斥计数。$26+15+13=54$，重复部分 $54-36=18=6+4+x$，$x=8$。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 某班有 $36$ 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 $26,15,13$，同时参加数学和物理小组的有 $6$ 人，同时参加物理和化学小组的有 $4$ 人，则同时参加数学和化学小组的有 $\underline{}$ 人．

🔍【思路分析】

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1. 三小组人次之和 $26+15+13=54$。
2. 每人至多两组，无三人同组，故人次 $=36+$(重复人数之和)。
3. 重复之和 $=54-36=18$。
4. $6+4+x=18$，$x=8$。

✅【答案】

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$8$

✍【详细解析】

Abstract

参加三个小组的人次之和为 $26+15+13=54$。 因为每名同学至多参加两个小组，没有人同时参加三个小组， 所以 $54=36+(\text{两两重复人数之和})$，即重复部分为 $54-36=18$。 设同时参加数学和化学小组的有 $x$ 人，则 $6+4+x=18$，解得 $x=8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：人次统计与容斥原理

核心方法：人次总和减去实际人数即重复部分

避坑指南：“每名同学至多参加两个小组”保证没有三人重复，重复人次恰等于两两重复人数之和，此条件是列方程的前提。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：容斥原理的人次形式：$\sum |A_i|=$ 总人次 $=$ 人数 $+$ 重复人次。

结论推广：若允许参加三组，则出现三元交集，需补充条件才能求解。

方法推广：人次差法（总和 $-$ 人数）比画韦恩图列方程更快。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-03 单-集合容斥计数
• 2009-湖南卷文-09 填-集合容斥计数
• 2012-江苏卷-23 解-集合计数与归纳推理
• 2009-北京卷文-14 填-新定义孤立元