2012-江苏卷-23 解-集合计数与归纳推理

本题导读

本题考查集合的子集计数。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 设集合 $P_n=\{1,2,\cdots ,n\}$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.记 $f(n)$ 为同时满足下列条件的集合 $A$ 的个数：①$A\subseteq P_n$；②若 $x\in A$，则 $2x\notin A$；③若 $x\in {\complement }_{P_n}A$，则 $2x\notin {\complement }_{P_n}A$.

(1) 求 $f(4)$；

(2) 求 $f(n)$ 的解析式（用 $n$ 表示）.

🔍【思路分析】

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$P_n$ 按奇数分成 $\lceil \frac{n}{2}\rceil$ 条互不影响的链，每条链 $2$ 种取法，故 $f(n)=2^{\lceil n/2\rceil }$；$f(4)=4$。

✅【答案】

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(1) $f(4)=4$；(2) $f(n)=2^{\lceil n/2\rceil }$

✍【详细解析】

Abstract

对每个 $j\in P_n$，都可以唯一地写成 $j=2^{r}u$，其中 $u$ 为奇数。因而 $P_n$ 被分成若干条链 $u,2u,4u,\cdots ,2^{m}u⩽n$，其中每条链的首项都是不超过 $n$ 的奇数。

在同一条链上，条件②表明若某一项属于 $A$，则下一项不属于 $A$；条件③表明若某一项不属于 $A$，则下一项属于 $A$。因此同一条链上的成员资格必须交替出现，而只要确定首项 $u$ 是否属于 $A$，整条链的取法就唯一确定。不同链之间互不影响。

不超过 $n$ 的奇数共有 $\lceil \frac{n}{2}\rceil$ 个，所以 $f(n)=2^{\lceil n/2\rceil }$。

当 $n=4$ 时，奇数首项为 $1$，$3$，故 $f(4)=2^2=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：条件②③的互补结构（ membership 交替）；按奇因数分解分链；不同链独立计数

核心方法：链分解 + 首项二选一，$f(n)=2^{\text{链数}}$，链数 = 不超过 $n$ 的奇数个数 $\lceil \frac{n}{2}\rceil$

避坑指南：条件③说”不在 $A$ 的元素的倍数也不在 $A$“，与②合起来链上只能交替；漏用③会把问题当成独立集计数得到斐波那契式的错误答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合计数压轴题，与 2013 年广东卷理第 8 题（归纳推理）、2013 年山东卷理第 10 题（计数原理）同族。

结论推广：$f(n)=2^{\lceil n/2\rceil }$，即 $n=2k$ 或 $n=2k-1$ 时 $f(n)=2^k$；把集合的约束条件沿”倍数链”分解是处理此类计数问题的通用思路。

方法推广：集合计数压轴：先在具体小 $n$ 上验证 → 找出约束的传播结构（链/环）→ 数独立单元个数，每个单元的自由度相乘。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-08 单-归纳推理与类比推理
• 2012-江西卷文-05 单-归纳推理找规律
• 2013-山东卷理-10 单-分类加法与分步乘法计数原理