2009-陕西卷文-18 解-独立事件概率

本题导读

考查概率计算。（1）$0.4+0.5=0.9$；（2）$0.4\times 0.1+0.5\times 0.5+0.1\times 0.4=0.33$。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 据统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 $0,1,2$ 的概率分别为 $0.4,0.5,0.1$.

(1)求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过 $1$ 次的概率；

(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 $2$ 次的概率.

🔍【思路分析】

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1.（1）不超过 $1$ 次 $=0$ 次或 $1$ 次：$0.4+0.5=0.9$。 2.（2）两个月共 $2$ 次分三类：$(0,2)$、$(1,1)$、$(2,0)$。 3. 独立性：$0.4\times 0.1+0.5\times 0.5+0.1\times 0.4=0.33$。

✅【答案】

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(1) $0.9$；(2)$0.33$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设一个月内被投诉的次数为随机变量 $X$，则 $P(X⩽1)=P(X=0)+P(X=1)=0.4+0.5=\mathrm{0.9.}$ （2）设一月份、二月份被投诉的次数分别为 $X$、$Y$。 两个月内共被投诉 $2$ 次包含三个互斥情形：$(X,Y)=(0,2)$、$(1,1)$、$(2,0)$。 由两个月互不影响，$X$、$Y$ 相互独立，因此 $P(X+Y=2)=0.4\times 0.1+0.5\times 0.5+0.1\times 0.4=0.04+0.25+0.04=\mathrm{0.33.}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：互斥事件的加法与相互独立事件的乘法

核心方法：按两个月投诉次数的搭配分类，逐类相乘再相加

避坑指南：两个月共投诉 $2$ 次有三类搭配 $(0,2)$、$(1,1)$、$(2,0)$，漏掉任何一类结果即错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：离散型随机变量和的分布即”卷积”：$P(X+Y=2)=\sum P(X=k)P(Y=2-k)$。

结论推广：“互不影响”是相互独立的生活化表述，独立才能概率相乘。

方法推广：分类计数先列全部搭配，用表格或树图保证不重不漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

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• 2009-大纲卷I文-20 解-围棋连胜概率
• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
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