2009-陕西卷文-22 解-双曲线定比面积

本题导读

考查双曲线综合。（1）$b=\frac{a}{2}$，$\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$a=2$，方程 $\frac{y^2}{4}-x^2=1$；（2）$uv=\frac{(1+\lambda {)}^2}{4\lambda }$，$S=\frac{(1+\lambda {)}^2}{2\lambda }$ 在 $\left[\frac{1}{3},1\right]$ 减、$[1,2]$ 增，范围 $\left[2,\frac{8}{3}\right]$。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 已知双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$），离心率 $e=\frac{\sqrt{5}}{2}$，顶点到渐近线的距离为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

(1)求双曲线 $C$ 的方程；

(2)如图，$P$ 是双曲线 $C$ 上一点，$A,B$ 两点在双曲线 $C$ 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$，$\lambda \in \left[\frac{1}{3},2\right]$，求 $△AOB$ 面积的取值范围.

🔍【思路分析】

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1.（1）$\frac{c^2}{a^2}=\frac{5}{4}\Rightarrow b=\frac{a}{2}$；顶点 $(0,a)$ 到渐近线距离 $\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 2. $a=2$，$b=1$，双曲线 $\frac{y^2}{4}-x^2=1$。 3.（2）$A(u,2u)$，$B(-v,2v)$，$\overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{OB}}{1+\lambda }$。 4. 代入双曲线：$4\lambda uv=(1+\lambda {)}^2$，$uv=\frac{(1+\lambda {)}^2}{4\lambda }$。 5. $S_{△AOB}=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|=2uv=\frac{(1+\lambda {)}^2}{2\lambda }$。 6. $S^{\prime }(\lambda )=\frac{{\lambda }^2-1}{2{\lambda }^2}$：$\left[\frac{1}{3},1\right]$ 递减，$[1,2]$ 递增。 7. $S(1)=2$，$S\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{3}$，$S(2)=\frac{9}{4}$，范围 $\left[2,\frac{8}{3}\right]$。

✅【答案】

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(1) $\frac{y^2}{4}-x^2=1$；(2)$△AOB$ 面积的取值范围为 $\left[2,\frac{8}{3}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设双曲线的半焦距为 $c$，则 $c^2=a^2+b^2$。由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，得 $1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{5}{4},\text{所以 }b=\frac{a}{2}.$ 双曲线的渐近线为 $y=\pm \frac{a}{b}x$。取顶点 $V(0,a)$，则 $V$ 到渐近线 $y=\frac{a}{b}x$ 的距离为 $\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}.$ 代入 $b=\frac{a}{2}$ 得该距离为 $\frac{a}{\sqrt{5}}$，故 $\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{\sqrt{5}}$， 从而 $a=2$，$b=1$，所以双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{y^2}{4}-x^2=1.$ （2）双曲线的两条渐近线为 $y=2x$ 和 $y=-2x$。 设 $A=(u,2u)$，$B=(-v,2v)$，其中 $u>0$，$v>0$。 由 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$ 得 $\overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{OB}}{1+\lambda }$， 所以 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{u-\lambda v}{1+\lambda },\frac{2u+2\lambda v}{1+\lambda }\right)$。 因为 $P$ 在双曲线 $C$ 上，有 $\frac{(u+\lambda v{)}^2-(u-\lambda v{)}^2}{(1+\lambda {)}^2}=1,\text{即 }uv=\frac{(1+\lambda {)}^2}{4\lambda }.$ 因此 $S_{△AOB}=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-y_A{x}_B|=2uv=\frac{(1+\lambda {)}^2}{2\lambda }.$ 记 $S(\lambda )=\frac{(1+\lambda {)}^2}{2\lambda }$，则 $S^{\prime }(\lambda )=\frac{{\lambda }^2-1}{2{\lambda }^2}$， 所以 $S$ 在 $\left[\frac{1}{3},1\right]$ 上递减，在 $[1,2]$ 上递增。 又 $S(1)=2$，$S\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{3}$，$S(2)=\frac{9}{4}$， 故 $△AOB$ 面积的取值范围为 $\left[2,\frac{8}{3}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线方程、定比分点与三角形面积范围

核心方法：渐近线上设点 $A(u,2u)$、$B(-v,2v)$，分点公式代入双曲线得 $uv$，面积化为 $\lambda$ 的函数

避坑指南：$S(\lambda )$ 在 $\lambda =1$ 处取最小值 $2$；端点 $S\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{3}$、$S(2)=\frac{9}{4}$，最大值是 $\frac{8}{3}$ 而非 $\frac{9}{4}$，两端点都要算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：焦点在 $y$ 轴的双曲线渐近线为 $y=\pm \frac{a}{b}x$，顶点到渐近线距离公式 $\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 要会用。

结论推广：$\frac{(1+\lambda {)}^2}{\lambda }=\lambda +\frac{1}{\lambda }+2$ 还可用对勾函数单调性分析，与导数法互证。

方法推广：三角形面积用坐标行列式 $S=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|$，避免底高难算。

🔗【关联脉络】

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• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-22 解-双曲线平行线距离
• 2009-北京卷文-19 解-双曲线准线与中点
• 2009-大纲卷II文-08 单-双曲线渐近线切圆
• 2009-四川卷文-08 单-双曲线数量积