2010-上海卷文-17 单-对数方程零点区间

本题导读

考查零点定位。$f(1.75)=\lg \frac{7}{4}-\frac{1}{4}<0$，$f(2)=\lg 2>0$，$x_0\in (1.75,2)$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 若 $x_0$ 是方程 $\lg x+x=2$ 的解，则 $x_0$ 属于区间()

A. $(0,1)$　　　B. $(1,1.25)$　　　C. $(1.25,1.75)$　　　D. $(1.75,2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $f(x)=\lg x+x-2$，在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。
2. $f(1.75)=\lg \frac{7}{4}-\frac{1}{4}=\lg 7-\lg 4-\frac{1}{4}\approx 0.845-0.602-0.25<0$。
3. $f(2)=\lg 2>0$。
4. 零点在 $(1.75,2)$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=\lg x+x-2$，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，方程只有一解。 $f(1.75)=\lg \frac{7}{4}-\frac{1}{4}=\lg 7-\lg 4-\frac{1}{4}\approx 0.8451-0.6021-0.25=-0.0070<0,$ $f(2)=\lg 2>0.$ 由零点存在性定理，$x_0\in (1.75,2)$。故选 D 注：合集答案书此题印作 C，系笔误；精确估计 $f(1.75)<0$ 且多源官方解析一致为 D，按 D 录入。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：方程解的范围（零点定位）

核心方法：构造函数用零点存在性定理，估值比较端点符号

避坑指南：$f(1.75)=\lg \frac{7}{4}-\frac{1}{4}\approx -0.007<0$ 与 $0$ 很接近，估值要精确：$\lg 7\approx 0.845$、$\lg 4\approx 0.602$；合集答案书此题印作 C 系笔误，官方答案为 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：零点存在性定理：连续函数两端异号则区间内有零点。

结论推广：$\lg x+x$ 单调递增，故零点唯一，定位一次即可。

方法推广：常用对数估值：$\lg 2\approx 0.301$，$\lg 3\approx 0.477$，$\lg 7\approx 0.845$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-11 单-函数零点估算
• 2009-山东卷文-14 填-函数零点
• 2011-天津卷文-08 单-新定义运算零点
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数