2010-北京卷理-10 填-解三角形

本题导读

本题考查解三角形的基本功。题目给出两边及其中一边的对角，求第三边。核心方法是直接利用余弦定理构建关于未知边的方程，或者利用正弦定理求出对应角后进行性质判定。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） 在 $△ABC$ 中，若 $b=1,c=\sqrt{3},\angle C=\frac{2\pi }{3}$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 余弦定理建模：已知 $b,c$ 及 $\angle C$，可直接以 $c$ 为主元列出余弦定理公式。

2. 一元二次方程求解：将已知数据代入公式，转化为关于 $a$ 的一元二次方程，结合三角形边长大于 0 的实际几何意义进行取舍。

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1

✍【详细解析】

Abstract

方法一：余弦定理法 由余弦定理可知： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 将 $b=1,c=\sqrt{3},\angle C=\frac{2\pi }{3}$ 代入上式得： $(\sqrt{3}{)}^2=a^2+1^2-2\cdot a\cdot 1\cdot \cos \frac{2\pi }{3}$ $3=a^2+1-2a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$ 整理化简得： $a^2+a-2=0$ 因式分解得： $(a+2)(a-1)=0$ 因为 $a>0$，所以 $a=1$。

方法二：正弦定理法 由正弦定理可知： $\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}⟹\frac{\sqrt{3}}{\sin \frac{2\pi }{3}}=\frac{1}{\sin B}$ 因为 $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得： $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2=\frac{1}{\sin B}⟹\sin B=\frac{1}{2}$ 由于 $\angle C=\frac{2\pi }{3}$ 是钝角，则 $\angle B$ 必为锐角，故 $\angle B=\frac{\pi }{6}$。 由内角和定理： $\angle A=\pi -\angle C-\angle B=\pi -\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$ 因为 $\angle A=\angle B=\frac{\pi }{6}$，所以 $△ABC$ 是等腰三角形，故 $a=b=1$。

填空答案：1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理的应用、正弦定理的应用、一元二次方程在几何中的应用。

2. 核心方法：公式代入法。

3. 避坑指南：在使用余弦定理求解出二次方程的两个根时，切记要结合边长必须为正数（$a>0$）的条件进行舍值，避免漏掉约束直接写出双解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自教材中解三角形的经典题型，属于知二边及一边的对角求第三边的标准模型。

2. 结论推广: 在 $△ABC$ 中，已知 $b,c,\angle C$。若 $\angle C$ 为钝角且 $c>b$，则该三角形有唯一解，第三边 $a=-b\cos C+\sqrt{c^2-b^2{\sin }^{2}C}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形