2010-四川卷文-09 单-排列容斥计数

本题导读

考查排列与容斥。总排列 $120$；“1 与 5 相邻”$48$ 种、“2 与 5 相邻”$48$ 种；两者同时发生 $12$ 种；$120-48-48+12=36$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个数是()

A. $36$　　　　　　　B. $32$　　　　　　　C. $28$　　　　　　　D. $24$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正难则反：用全排列数减去”1 与 5 相邻”或”2 与 5 相邻”的排列数。
2. 相邻用捆绑法：$|E_1|=|E_2|=2\times 4!=48$。
3. 交集 $E_1\cap E_2$：5 只能居于第 2、3、4 位，1、2 分居两侧有 2 种，剩余两数全排有 2 种，共 $3\times 2\times 2=12$。
4. 容斥：$120-48-48+12$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

五个数字的全排列共 $5!=120$ 个. 设 $E_1$ 表示”1 与 5 相邻”，$E_2$ 表示”2 与 5 相邻”。由捆绑法， $|E_1|=|E_2|=2\times 4!=48.$ 在 $E_1\cap E_2$ 中，数字 5 只能位于第 2、第 3 或第 4 位，共 3 种；对每一种位置，1 和 2 分居 5 的两侧有 2 种，剩余两个数字排在剩余两个位置有 2 种，共 $3\times 2\times 2=12\text{个}.$ 由容斥原理，1、2 都不与 5 相邻的五位数有 $120-48-48+12=36\text{个}.$ 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列组合与容斥原理

核心方法：$120-48-48+12=36$

避坑指南：“都不与 5 相邻”从反面算更简单；捆绑 $|E_1|=2\times 4!$ 中的 2 是 1 与 5 内部的排列数；$|E_1\cap E_2|$ 中 5 只能在第 2、3、4 位，端点位置无法两侧同时相邻，别算成 $4\times 2\times 2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：带”不相邻”限制的排列问题，正难则反配合容斥是通法；重庆 2009 年第 13 题、2012 年第 15 题同型。

结论推广：相邻捆绑：$2\times (n-1)!$；不相邻问题用总数减容斥；多元素同时相邻时交集按”核心元素的可站位置”分类。

方法推广：先算总数，再算各”相邻”事件与交集，最后容斥相减；交集分类时抓住被围绕元素的位置约束。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-11 单-限制排列
• 2009-重庆卷文-13 填-不相邻排列
• 2012-重庆卷文-15 填-排列与古典概型
• 2009-湖北卷文-04 单-分步计数