2009-四川卷文-11 单-限制排列

本题导读

考查复杂排列。捆两女（${\mathrm{C}}_3^2\times 2!=6$ 种），四元素排列中两女元素不相邻且甲不在两端共 $8$ 种，合计 $6\times 8=48$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） $2$ 位男生和 $3$ 位女生共 $5$ 位同学站成一排，若男生甲不站两端，$3$ 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 ()

A. $60$　　　　　　　B. $48$　　　　　　　C. $42$　　　　　　　D. $36$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 选出并捆绑相邻两女生：${\mathrm{C}}_3^2\times 2!=6$ 种。
2. 四元素（甲、乙、女捆 $X$、单女 $y$）排列，要求 $X,y$ 不相邻：$4!-2\times 3!=12$ 种。
3. 其中甲在两端：甲定端（$2$ 种），其余三元素中 $X,y$ 不相邻有 $2$ 种，共 $4$ 种。
4. 合条件排列 $12-4=8$ 种；总计 $6\times 8=48$ 种。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

先选出相邻的两位女生并视为一个整体 $X$：${\mathrm{C}}_3^2$ 种选法，内部 $2!$ 种顺序，共 $6$ 种。 此时要排的元素为甲、乙、$X$、单女 $y$ 共 $4$ 个，且 $X$ 与 $y$ 不能相邻（否则三女生相邻）。 $4$ 个元素的排列中，$X,y$ 相邻的有 $2\times 3!=12$ 种，故 $X,y$ 不相邻的有 $4!-12=12$ 种。 其中甲站在两端的：甲固定在一端有 $2$ 种，其余 $3$ 个元素排列中 $X,y$ 不相邻的只有 ”$X$ 乙 $y$“与”$y$ 乙 $X$“共 $2$ 种，合计 $2\times 2=4$ 种。 所以满足条件的排列有 $12-4=8$ 种。 不同的排法共有 $6\times 8=48$ 种，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相邻与不相邻的混合排列

核心方法：捆绑法处理”恰两女相邻”，再减去甲站两端的情形

避坑指南：“有且只有两位相邻”要求捆好的整体与第三女不相邻；甲的限制在$4$ 元素层面处理。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复杂排列拆步：选捆（${\mathrm{C}}_3^2\times 2!$）→ 排列（限制条件逐条扣）。

结论推广：$X,y$ 不相邻：总 $4!$ 减相邻 $2\times 3!$。

方法推广：甲在端点时再要求 $X,y$ 不相邻：只剩”$X$ 乙 $y$“型 $2$ 种，分类要彻底。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-13 填-不相邻排列
• 2009-北京卷文-05 单-四位偶数排列
• 2012-大纲卷文-07 单-排列特殊元素
• 2012-重庆卷文-15 填-排列与古典概型