2010-四川卷文-20 解-等差数列错位相减

本题导读

考查等差数列与错位相减。(1) 两个前缀和条件化为基本量方程组，得 $a_n=4-n$；(2) $b_n=n{q}^{n-1}$ 属”等差 $\times$ 等比”型，错位相减后 $q\ne 1$ 时 $S_n=\frac{n{q}^{n+1}-(n+1)q^n+1}{(q-1{)}^2}$；$q=1$ 时 $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 3 项和为 6，前 8 项和为 $-4$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)设 $b_n=(4-a_n)q^{n-1}$（$q\ne 0$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $S_3=6$、$S_8=-4$ 转化为首项 $a$ 与公差 $d$ 的方程组，注意 $S_8=\frac{8(a_1+a_8)}{2}$。
2. (2) 由（1）得 $4-a_n=n$，故 $b_n=n{q}^{n-1}$，属”等差 $\times$ 等比”结构，用错位相减法。
3. 错位相减仅对 $q\ne 1$ 适用，$q=1$ 时退化为等差数列求和，必须单独讨论。

✅【答案】

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(1) $a_n=4-n$

(2) $q\ne 1$ 时 $S_n=\frac{n{q}^{n+1}-(n+1)q^n+1}{(q-1{)}^2}$，$q=1$ 时 $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设等差数列的首项为 $a$，公差为 $d$. 由前 3 项和为 6，得 $3(a+d)=6$，即 $a+d=2$；由前 8 项和为 $-4$，得 $\frac{8(2a+7d)}{2}=-4$，即 $2a+7d=-1$. 联立解得 $d=-1$、$a=3$，所以 $a_n=a+(n-1)d=4-n.$ （2）由（1）知 $4-a_n=n$，所以 $b_n=n{q}^{n-1}$. 当 $q\ne 1$ 时，记 $S_n=\sum _{k=1}^{n}k{q}^{k-1}$，错位相减： $S_n=1+2q+3q^2+\cdots +n{q}^{n-1},$ $q{S}_n=q+2q^2+\cdots +(n-1)q^{n-1}+n{q}^n,$ 两式相减得 $(1-q)S_n=1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}-n{q}^n=\frac{1-q^n}{1-q}-n{q}^n,$ 整理得 $S_n=\frac{1-(n+1)q^n+n{q}^{n+1}}{(1-q{)}^2}=\frac{n{q}^{n+1}-(n+1)q^n+1}{(q-1{)}^2}.$ 当 $q=1$ 时，$S_n=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$. 综上：$q\ne 1$ 时，$S_n=\frac{n{q}^{n+1}-(n+1)q^n+1}{(q-1{)}^2}$；$q=1$ 时，$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列基本量与错位相减

核心方法：$a_n=4-n$；$q\ne 1$ 时 $S_n=\frac{n{q}^{n+1}-(n+1)q^n+1}{(q-1{)}^2}$，$q=1$ 时 $\frac{n(n+1)}{2}$

避坑指南：$S_8=-4$ 转化为 $2a+7d=-1$ 时别忘除以 2（$S_8=\frac{8(a_1+a_8)}{2}$）；错位相减后 $(1-q)S_n$ 的末项是 $-n{q}^n$；$q=1$ 必须单独讨论，漏掉直接扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“等差 $\times$ 等比”型数列求和（错位相减）是解答题常客，2012 天津文 18 题同型。

结论推广：错位相减结果 $S_n=\frac{n{q}^{n+1}-(n+1)q^n+1}{(q-1{)}^2}$ 可作公式储备；$q=1$ 退化为等差求和。

方法推广：基本量方程组求通项，识别”等差 $\times$ 等比”结构后错位相减，并讨论 $q=1$；写全分类是得分关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和
• 2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比
• 2011-重庆卷文-16 解-等比等差分组求和
• 2012-天津卷文-18 解-等差等比数列错位相减