2010-大纲卷I文-05 单-二项式系数

本题导读

考查二项展开。$x^2$ 来自 $(-4x)(3x)$ 与 $(6x^2)(1)$，系数 $-12+6=-6$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） $(1-x{)}^4(1-\sqrt{x}{)}^3$ 的展开式中 $x^2$ 的系数是()

A. $-6$　　　　　　　B. $-3$　　　　　　　C. $0$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. $(1-x{)}^4=1-4x+6x^2-\cdots$；$(1-\sqrt{x}{)}^3=1-3\sqrt{x}+3x-\cdots$。
2. $x^2$ 的组合：$(-4x)(3x)=-12x^2$；$(6x^2)(1)=6x^2$。
3. 系数 $-12+6=-6$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

展开 $(1-x{)}^4=1-4x+6x^2-4x^3+x^4$， $(1-\sqrt{x}{)}^3=1-3x^{1/2}+3x-x^{3/2}$。 要得到 $x^2$ 项，只有两种组合： 第一式取 $-4x$、第二式取 $3x$，贡献 $-12$； 第一式取 $6x^2$、第二式取常数项 $1$，贡献 $6$。 所以 $x^2$ 的系数为 $-12+6=-6$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式指定项的系数

核心方法：两因子各自展开，枚举凑出 $x^2$ 的组合

避坑指南：$(1-\sqrt{x}{)}^3$ 的展开式只有 $x^0,x^{1/2},x^1,x^{3/2}$ 四种幂次，配 $x^2$ 只有两种组合，别多别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两个二项式相乘求指定项：列出幂次表，配对枚举。

结论推广：$(1-x{)}^4$ 的系数符号交替，$-4x$ 与 $+6x^2$ 的符号是结果为正为负的关键。

方法推广：组合数 ${\mathrm{C}}_n^k$ 与二项式系数的对应要熟：${\mathrm{C}}_4^1=4$，${\mathrm{C}}_4^2=6$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-13 填-二项式系数
• 2009-大纲卷II文-14 填-二项展开式系数
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2012-大纲卷文-13 填-二项式特定项