2012-大纲卷文-13 填-二项式特定项

本题导读

本题考查二项式定理，以及特定项的系数。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） ${\left(x+\frac{1}{2x}\right)}^8$ 的展开式中 $x^2$ 的系数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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通项中 $8-2k=2$ 得 $k=3$，系数 ${\mathrm{C}}_8^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=7$。

✅【答案】

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$7$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-k}{\left(\frac{1}{2x}\right)}^k={\mathrm{C}}_8^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^k{x}^{8-2k}$。

令 $8-2k=2$，得 $k=3$。

系数为 ${\mathrm{C}}_8^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=56\times \frac{1}{8}=7$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的通项公式；特定项系数

核心方法：通项 → 指数方程定 $k$ → 组合数与数值系数相乘

避坑指南：系数含 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^k$ 别漏乘；注意问的是”$x^2$ 的系数”而不是”二项式系数”（后者是 ${\mathrm{C}}_8^3=56$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式特定项入口题，与 2013 年大纲卷文第 5 题、2013 年上海卷文第 7 题同族。

结论推广：一般地，${\left(x+\frac{a}{x^p}\right)}^n$ 中 $x^m$ 的系数由 $n-(p+1)k=m$ 定 $k$，再乘 ${\mathrm{C}}_n^k{a}^k$。

方法推广：二项式特定项三板斧：写通项 → 定 $k$ → 算系数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-05 单-二项式定理
• 2013-上海卷文-07 填-二项式系数