2010-大纲卷I文-10 单-指对数比较大小

本题导读

考查比较大小。$c=5^{-1/2}<\frac{1}{2}$，$a={\log }_{3}2>\frac{1}{2}$，$a=\frac{\ln 2}{\ln 3}<\ln 2=b$，故 $c<a<b$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） 设 $a={\log }_{3}2$，$b=\ln 2$，$c=5^{-\frac{1}{2}}$，则()

A. $a<b<c$　　　　　B. $b<c<a$　　　　　C. $c<a<b$　　　　　D. $c<b<a$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $c=\frac{1}{\sqrt{5}}<\frac{1}{2}$（因 $\sqrt{5}>2$）。
2. $a={\log }_{3}2>{\log }_3\sqrt{3}=\frac{1}{2}$（因 $2>\sqrt{3}$）。故 $c<a$。
3. $a=\frac{\ln 2}{\ln 3}<\ln 2=b$（因 $\ln 3>1$）。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

先比较 $c$ 与 $a$：由 $\sqrt{5}>2$ 得 $c=\frac{1}{\sqrt{5}}<\frac{1}{2}$； 又 $2>\sqrt{3}$，所以 $a={\log }_{3}2>{\log }_3\sqrt{3}=\frac{1}{2}$，故 $c<a$。 再比较 $a$ 与 $b$：由 $\ln 3>1$，得 $a=\frac{\ln 2}{\ln 3}<\ln 2=b.$ 综上 $c<a<b$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指对数混合比较大小

核心方法：找中间量 $\frac{1}{2}$ 分段比较，换底公式化同底

避坑指南：$a={\log }_{3}2$ 与 $b=\ln 2$ 的比较要用 $\ln 3>1$ 放缩，直接估算 ${\log }_{3}2\approx 0.63$ 容易与 $\ln 2\approx 0.69$ 看反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：比较大小三板斧：找中间量、作差作商、利用单调性。

结论推广：${\log }_{3}2=\frac{\ln 2}{\ln 3}$，分母大于 $1$ 则分数小于分子（分子为正时）。

方法推广：$5^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，与 $\frac{1}{2}$ 比较即比较 $\sqrt{5}$ 与 $2$。

🔗【关联脉络】

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