2010-大纲卷II文-03 单-诱导二倍角求值

本题导读

考查诱导与二倍角。$\cos (\pi -2\alpha )=-\left(1-2\times \frac{4}{9}\right)=-\frac{1}{9}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） 已知 $\sin \alpha =\frac{2}{3}$，则 $\cos (\pi -2\alpha )=$()

A. $-\frac{\sqrt{5}}{3}$　　　　　　B. $-\frac{1}{9}$　　　　　　C. $\frac{1}{9}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{5}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\cos (\pi -2\alpha )=-\cos 2\alpha$。
2. $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}$。
3. 原式 $=-\frac{1}{9}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由诱导公式， $\cos (\pi -2\alpha )=-\cos 2\alpha .$ 再由二倍角公式， $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^2=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9},$ 所以 $\cos (\pi -2\alpha )=-\frac{1}{9}$，选 B。 本题无需知道 $\alpha$ 的象限，直接用 ${\sin }^2\alpha$ 即可。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：诱导公式与二倍角余弦

核心方法：$\cos (\pi -2\alpha )=-\cos 2\alpha$，再用 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$

避坑指南：本题只知 $\sin \alpha$ 不知象限，必须选只含 ${\sin }^2\alpha$ 的二倍角公式，用 ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ 反而引入符号讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\cos 2\alpha$ 有三种写法，按已知量选择：知 $\sin$ 用 $1-2{\sin }^2\alpha$，知 $\cos$ 用 $2{\cos }^2\alpha -1$。

结论推广：诱导公式”奇变偶不变，符号看象限”：$\pi -2\alpha$ 的函数名不变。

方法推广：含根号的选项是干扰项，平方类公式天然避开根号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-07 单-二倍角余弦
• 2009-大纲卷I文-01 单-诱导公式求值
• 2013-江西卷文-03 单-二倍角求值
• 2012-大纲卷文-04 单-二倍角与象限符号