2010-大纲卷II文-18 解-等比数列通项与求和

本题导读

考查等比数列与求和。（1） $a_{n} = 2^{n - 1}$ ；（2） $T_{n} = \frac{4 ^{n} - 1}{3} + 2 n + \frac{4}{3} (1 - 4^{- n})$ 。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)）已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1} + a_{2} = 2 (\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}}), a_{3} + a_{4} + a_{5} = 64 (\frac{1}{a _{3}} + \frac{1}{a _{4}} + \frac{1}{a _{5}}) .$

(1)求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)设 $b_{n} = (a_{n} + \frac{1}{a _{n}})^{2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

$a_{1} + a_{2} = \frac{2 ( a _{1} + a _{2} )}{a _{1} a _{2}} \Rightarrow a_{1} a_{2} = a_{1}^{2} q = 2$ 。

同理由第二个条件得 $a_{1}^{2} q^{6} = 64$ 。

两式相除 $q^{5} = 32$ ， $q = 2$ ， $a_{1} = 1$ 。

$b_{n} = a_{n}^{2} + 2 + \frac{1}{a _{n}^{2}} = 4^{n - 1} + 2 + 4^{1 - n}$ 。

分组求和得 $T_{n}$ 。

✅【答案】

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(1) $a_{n} = 2^{n - 1}$

(2) $T_{n} = \frac{4 ^{n} - 1}{3} + 2 n + \frac{4}{3} (1 - 4^{- n})$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设公比为 $q$ （ $q > 0$ ）。由 $a_{1} + a_{2} = 2 (\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}}) = \frac{2 ( a _{1} + a _{2} )}{a _{1} a _{2}},$ 且 $a_{1} + a_{2} > 0$ ，两边约去 $a_{1} + a_{2}$ ，得 $a_{1} a_{2} = 2$ ，即 $a_{1}^{2} q = 2$ 。同理处理第二个条件： $a_{3} + a_{4} + a_{5} = a_{1} q^{2} (1 + q + q^{2}),$ $\frac{1}{a _{3}} + \frac{1}{a _{4}} + \frac{1}{a _{5}} = \frac{1}{a _{1} q ^{2}} (1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q ^{2}}) = \frac{1 + q + q ^{2}}{a _{1} q ^{4}},$ 代入 $a_{3} + a_{4} + a_{5} = 64 (\frac{1}{a _{3}} + \frac{1}{a _{4}} + \frac{1}{a _{5}})$ 并约去 $1 + q + q^{2}$ ，得 $a_{1} q^{2} = \frac{64}{a _{1} q ^{4}} ⟺ a_{1}^{2} q^{6} = 64.$ 与 $a_{1}^{2} q = 2$ 相除得 $q^{5} = 32$ ，故 $q = 2$ ，进而 $a_{1} = 1$ 。所以 $a_{n} = 2^{n - 1}$ 。（2）由（1）， $b_{n} = (a_{n} + \frac{1}{a _{n}})^{2} = a_{n}^{2} + 2 + \frac{1}{a _{n}^{2}} = 4^{n - 1} + 2 + 4^{1 - n} .$ 分组求和： $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} 4^{k - 1} + \sum_{k = 1}^{n} 2 + \sum_{k = 1}^{n} 4^{1 - k} = \frac{4 ^{n} - 1}{4 - 1} + 2 n + \frac{1 - 4 ^{- n}}{1 - \frac{1}{4}},$ 即 $T_{n} = \frac{4 ^{n} - 1}{3} + 2 n + \frac{4}{3} (1 - 4^{- n}) .$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列基本量与分组求和

核心方法：条件约去和因子得 $a_{1}^{2} q = 2$ 、 $a_{1}^{2} q^{6} = 64$ ，相除定 $q$

避坑指南：约去 $a_{1} + a_{2}$ 与 $1 + q + q^{2}$ 前要交代它们为正（各项均为正数），否则约分不严谨； $b_{n}$ 展开成 $4^{n - 1} + 2 + 4^{1 - n}$ 三部分分别用等比求和。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“和等于倒数的和的倍数”型条件，通分后约去公共和因子是固定套路。

结论推广： $(a_{n} + \frac{1}{a _{n}})^{2} = a_{n}^{2} + 2 + \frac{1}{a _{n}^{2}}$ ，等比数列各项平方、倒数仍是等比数列。

方法推广： $4^{1 - n}$ 是首项 $1$ 、公比 $\frac{1}{4}$ 的等比数列，求和别错用公比 $4$ 。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

2009-大纲卷II文-13 填-等比数列基本量

2011-大纲卷文-17 解-等比数列基本量

2012-天津卷文-18 解-等差等比数列错位相减

2009-福建卷文-17 解-等差等比数列

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