2010-天津卷文-07 单-集合交集定参

本题导读

考查集合运算。$A\cap B=\varnothing ⟺a+1⩽1$ 或 $a-1⩾5$，即 $a⩽0$ 或 $a⩾6$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 设集合 $A=\{x\mid |x-a|<1,x\in \mathbf{R}\}$，$B=\{x\mid 1<x<5,x\in \mathbf{R}\}$.若 $A\cap B=\varnothing$，则实数 $a$ 的取值范围是()

A. $\{a\mid 0⩽a⩽6\}$　　　B. $\{a\mid a⩽2$ 或 $a⩾4\}$　　　C. $\{a\mid a⩽0$ 或 $a⩾6\}$　　　D. $\{a\mid 2⩽a⩽4\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|x-a|<1⟺a-1<x<a+1$，$A=(a-1,a+1)$。
2. $A\cap B=\varnothing$：开区间 $(a-1,a+1)$ 与 $(1,5)$ 无公共点。
3. $a+1⩽1$ 或 $a-1⩾5$。
4. 即 $a⩽0$ 或 $a⩾6$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $|x-a|<1$ 得 $A=(a-1,a+1)$，是长为 $2$ 的开区间。 $A\cap B=\varnothing$ 当且仅当 $A$ 整体落在 $B=(1,5)$ 的左侧或右侧： $a+1⩽1\text{或}a-1⩾5,$ 解得 $a⩽0$ 或 $a⩾6$。 （端点处两开区间仍无公共点，故可取等号。） 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的交集与空集条件

核心方法：解绝对值不等式得开区间，按左右分离列不等式

避坑指南：$A\cap B=\varnothing$ 的临界情形 $a+1=1$、$a-1=5$ 能取到（两个开区间端点相同仍无公共点），漏掉等号会错选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$|x-a|<r$ 表示以 $a$ 为中心、半径 $r$ 的开区间。

结论推广：两开区间不相交 $⟺$ 左区间的右端点 $⩽$ 右区间的左端点（或反之），端点重合仍不相交。

方法推广：含参集合问题画数轴最直观，临界值单独检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-13 填-集合交补反推
• 2009-湖北卷文-13 填-集合交集与不等式
• 2009-江苏卷-11 填-集合包含定参
• 2011-安徽卷文-02 单-集合补集交集