2009-江苏卷-11 填-集合包含定参

本题导读

考查集合包含。$A=(0,4]$，$A\subseteq (-\infty ,a)$ 需 $a>4$，$c=4$。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） 已知集合 $A=\{x\mid {\log }_{2}x⩽2\}$，$B=(-\infty ,a)$.若 $A\subseteq B$，则实数 $a$ 的取值范围是 $(c,+\infty )$，其中 $c=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. ${\log }_{2}x⩽2\Rightarrow 0<x⩽4$，即 $A=(0,4]$。
2. $A\subseteq (-\infty ,a)$ 需 $a>4$，故 $c=4$。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\log }_{2}x⩽2={\log }_{2}4$，得 $0<x⩽4$，即 $A=(0,4]$。 要 $A\subseteq B=(-\infty ,a)$，需 $a>4$（若 $a⩽4$，则 $a<x⩽4$ 的元素不属于 $B$）。 所以 $c=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合包含关系

核心方法：数轴定端点，$A\subseteq B$ 看 $A$ 的最大值

避坑指南：$A=(0,4]$ 含 $4$，$B=(-\infty ,a)$ 是开区间，需 $a>4$ 严格。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数限定义域后用包含定参。

结论推广：${\log }_{2}x⩽2$ 先解出 $(0,4]$，再对 $a$ 提要求。

方法推广：$a=4$ 时 $4\notin B$，等号取不到，答案是 $c=4$ 但 $a$ 范围是开区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-02 填-集合并集定参
• 2009-辽宁卷文-01 单-集合并集
• 2011-上海卷文-01 填-集合补集