2008-上海卷文-02 填-集合交集定参

本题导读

考查交集与参数。$A\cap B=\{2\}$ 要求 $2⩾a$ 且 $B$ 与 $A$ 只交于 $2$，得 $a=2$。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 若集合 $A=\{x\mid x⩽2\}$，$B=\{x\mid x⩾a\}$ 满足 $A\cap B=\{2\}$，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $2\in A\cap B$：$2\in B\Rightarrow 2⩾a$。
2. 若 $a<2$，则 $[a,2]$ 内还有其它公共元素，交集不止 $\{2\}$。
3. 故 $a=2$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

$A\cap B=\{2\}$，故 $2\in B$，即 $2⩾a$. 若 $a<2$，则任取 $x\in (a,2]$ 都满足 $x⩽2$ 且 $x⩾a$，$A\cap B$ 包含区间 $(a,2]$，不止单点 $\{2\}$，矛盾. 所以 $a=2$，此时 $A\cap B=\{2\}$ 成立. 故答案为 $2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：交集为单点定参数

核心方法：$A\cap B=\{2\}\Rightarrow 2⩾a$ 且 $a=2$

避坑指南：交集只含 $2$ 意味着两件事：$2$ 在两边（$2⩾a$），且 $B$ 的左端点不能再往左（否则交集是一段）——两个条件合起来恰是 $a=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：交集定参是集合题的标准变式，2009 天津文第 13 题、2010 天津文第 7 题同型。

结论推广：$A\cap B=\{x_0\}$（$A$、$B$ 为区间）$⟺x_0$ 为两区间公共部分之退化区间。

方法推广：反证最清晰：若 $a<2$，交集含整段 $(a,2]$；若 $a>2$，交集为空——只有 $a=2$ 合题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-13 填-集合交补反推
• 2010-天津卷文-07 单-集合交集定参
• 2009-江苏卷-11 填-集合包含定参
• 2010-上海卷文-01 填-集合并集定参