2010-安徽卷文-14 填-分层抽样加权估计

本题导读

考查分层抽样估计。$0.99\times \frac{50}{990}+0.01\times \frac{70}{100}=0.05+0.007=0.057$，即 $5.7\%$。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(文)） 某地有居民 $100000$ 户，其中普通家庭 $99000$ 户，高收入家庭 $1000$ 户. 从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取 $990$ 户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取 $100$ 户进行调查，发现共有 $120$ 户家庭拥有 $3$ 套或 $3$ 套以上住房，其中普通家庭 $50$ 户，高收入家庭 $70$ 户. 依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有 $3$ 套或 $3$ 套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分层抽样中，各层比例的估计要按层权重加权。
2. 普通家庭样本比例为 $\frac{50}{990}$，权重 $\frac{99000}{100000}=0.99$。
3. 高收入家庭样本比例为 $\frac{70}{100}$，权重 $\frac{1000}{100000}=0.01$。
4. 加权：$0.99\times \frac{50}{990}+0.01\times \frac{70}{100}=0.05+0.007=0.057$。

✅【答案】

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$5.7\%$

✍【详细解析】

Abstract

分层抽样后，应先分别估计两类家庭中拥有 $3$ 套或 $3$ 套以上住房的比例，再按两类家庭在总体中的占比加权. 普通家庭中的样本比例为 $\frac{50}{990}$，高收入家庭中的样本比例为 $\frac{70}{100}$，故总体比例的合理估计为 $\frac{99000}{100000}\times \frac{50}{990}+\frac{1000}{100000}\times \frac{70}{100}=0.05+0.007=0.057=5.7\%.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样的加权估计

核心方法：各层样本比例按层权重加权平均

避坑指南：两层权重是 $\frac{99000}{100000}$ 与 $\frac{1000}{100000}$，不是抽样比 $\frac{990}{100000}$；加权式 $\frac{99000}{100000}\times \frac{50}{990}$ 中 $990$ 与 $99000$ 的约分要细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分层抽样的总体估计：$\hat{P}=\sum w_i{\hat{P}}_i$，权重为各层总体占比。

结论推广：本题两层抽样比相同（都是 $1\%$）时，加权结果也等于合并样本比例 $\frac{120}{1090}$ 的近似，但严格口径按层加权。

方法推广：结果用百分数表达（$5.7\%$），注意题目要求的表述形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2009-陕西卷文-05 单-分层抽样
• 2011-湖北卷文-11 填-分层抽样
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