2010-安徽卷文-15 填-基本不等式多命题

本题导读

考查基本不等式恒成立。$ab⩽1$ 成立推出①③⑤；$a=b=1$ 时②④不成立，填①③⑤。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(文)） 若 $a>0$，$b>0$，$a+b=2$，则下列不等式对一切满足条件的 $a$，$b$ 恒成立的是 $\underline{}$.（写出所有正确命题的编号） ① $ab⩽1$； ② $\sqrt{a}+\sqrt{b}⩽\sqrt{2}$； ③ $a^2+b^2⩾2$； ④ $a^3+b^3⩾3$； ⑤ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}⩾2$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $(a-b{)}^2⩾0$ 得 $ab⩽\frac{(a+b{)}^2}{4}=1$，①恒成立。
2. $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=4-2ab⩾2$，③恒成立。
3. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{2}{ab}⩾2$，⑤恒成立。
4. 取 $a=b=1$：②左边 $2>\sqrt{2}$ 不成立；④左边 $2<3$ 不成立。

✅【答案】

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①③⑤

✍【详细解析】

Abstract

由 $(a-b{)}^2⩾0$ 且 $a+b=2$，得 $ab⩽\frac{(a+b{)}^2}{4}=1,$ 故命题①恒成立. 又 $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=4-2ab⩾2,$ 故命题③恒成立. 因为 $a$，$b>0$，由 $ab⩽1$ 得 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{2}{ab}⩾2,$ 故命题⑤恒成立. 命题②在 $a=b=1$ 时变为 $2⩽\sqrt{2}$，不成立；命题④在 $a=b=1$ 时变为 $2⩾3$，也不成立. 因此正确命题的编号为①③⑤.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式与多命题判断

核心方法：由 $ab⩽1$ 一个核心不等式串起①③⑤，反例否定②④

避坑指南：②在 $a=b=1$ 时左边为 $2>\sqrt{2}$，④左边为 $2<3$，一组反例即可否定”恒成立”；⑤的推导用 $\frac{a+b}{ab}=\frac{2}{ab}$，分母小则分式大。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“恒成立的多选填空”考查不等式链的综合运用与举反例能力。

结论推广：$a+b$ 定值时，$ab⩽\frac{(a+b{)}^2}{4}$ 是一系列不等式的源头。

方法推广：否定”对一切恒成立”只需一个反例，取 $a=b=1$ 最省力。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-07 单-基本不等式
• 2009-湖南卷文-10 填-基本不等式最值
• 2009-湖北卷文-17 解-均值不等式应用
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立