2010-安徽卷文-21 解-圆列等比与错位相减

本题导读

考查等比数列与错位相减。$x_n=2r_n$，$r_{n+1}=3r_n$；$S_n=\frac{9-(2n+3)\times 3^{1-n}}{4}$。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(文)） 设 $C_1$，$C_2$，$\cdots$，$C_n$，$\cdots$ 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 $x$ 轴的正半轴上，且都与直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 相切，对每一个正整数 $n$，圆 $C_n$ 都与圆 $C_{n+1}$ 相互外切，以 $r_n$ 表示 $C_n$ 的半径. 已知 $\{r_n\}$ 为递增数列.

(1) 证明：$\{r_n\}$ 为等比数列；

(2) 设 $r_1=1$，求数列 $\left\{\frac{n}{r_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设圆心 $P_n(x_n,0)$，圆心到直线 $\frac{\sqrt{3}}{3}x-y=0$ 的距离等于半径：$r_n=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_n}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}=\frac{x_n}{2}$。
2. $\{r_n\}$ 递增，故圆心下标顺序与位置一致；外切给出 $x_{n+1}-x_n=r_n+r_{n+1}$。
3. 代入 $x_n=2r_n$：$2r_{n+1}-2r_n=r_n+r_{n+1}$，即 $r_{n+1}=3r_n$，公比 $3$。
4. $r_n=3^{n-1}$，$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{k}{3^{k-1}}$，错位相减得 $S_n=\frac{9-(2n+3)\times 3^{1-n}}{4}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 公比 $q=3$，见解析

(2) $S_n=\frac{9-(2n+3)\times 3^{1-n}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设圆 $C_n$ 的圆心为 $P_n(x_n,0)$. 圆心到直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，即 $\frac{\sqrt{3}}{3}x-y=0$，的距离等于半径，因此 $r_n=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_n}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}=\frac{x_n}{2},$ 从而 $x_n=2r_n$. 因为 $\{r_n\}$ 递增，相邻圆心在 $x$ 轴上的顺序与下标一致；又 $C_n$ 与 $C_{n+1}$ 外切，所以 $x_{n+1}-x_n=r_n+r_{n+1}.$ 代入 $x_n=2r_n$，得 $2r_{n+1}-2r_n=r_n+r_{n+1}$，即 $r_{n+1}=3r_n$. 故 $\{r_n\}$ 是公比为 $3$ 的等比数列. (2) 由 $r_1=1$，得 $r_n=3^{n-1}$. 设所求前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $S_n={\sum }_{k=1}^n\frac{k}{3^{k-1}}=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\cdots +\frac{n}{3^{n-1}}.$ $\frac{1}{3}{S}_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\cdots +\frac{n-1}{3^{n-1}}+\frac{n}{3^n}.$ 两式相减， $\frac{2}{3}{S}_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n}{3^n}=\frac{1-\frac{1}{3^n}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{n}{3^n}=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)-\frac{n}{3^n}.$ 所以 $S_n=\frac{9}{4}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)-\frac{3n}{2\times 3^n}=\frac{9}{4}-\frac{6n+9}{4\times 3^n}=\frac{9-(2n+3)\times 3^{1-n}}{4}.$ 即数列 $\left\{\frac{n}{r_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=\frac{9-(2n+3)\times 3^{1-n}}{4}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆列的等比结构与错位相减求和

核心方法：圆心到切线距离定 $r_n=\frac{x_n}{2}$，外切条件转递推；$\sum \frac{k}{3^{k-1}}$ 错位相减

避坑指南：外切条件 $x_{n+1}-x_n=r_n+r_{n+1}$ 依赖圆心依下标排列，须用”递增”先作说明；错位相减后剩 $n$ 项的尾巴 $-\frac{n}{3^n}$ 别丢，最后通分要与 $\frac{9}{4}$ 合并。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解析几何外壳下的数列题：相切与外切把几何条件翻译成递推式。

结论推广：$\sum k{r}^{k-1}$ 的封闭公式由等比求和式两边求导得到，可替代错位相减作验算。

方法推广：安徽压轴的”圆列 + 错位相减”组合与 2009 年全国卷数列大题一脉相承。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列
• 2009-山东卷文-20 解-等比数列求和
• 2009-新课标卷文-15 填-等比数列求和
• 2009-大纲卷II文-13 填-等比数列基本量