2010-安徽卷理-07 单-参数方程

本题导读

本题考查参数方程向直角坐标方程的转化，并利用圆的几何性质（圆心到直线的距离）判定特定距离的平行线与圆的交点个数。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） 设曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2+3\cos \theta \\ y=-1+3\sin \theta \end{array}$（$\theta$ 为参数），直线 $l$ 的方程为 $x-3y+2=0$，则曲线 $C$ 上到直线 $l$ 的距离为 $\frac{7\sqrt{10}}{10}$ 的点的个数为()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

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1. 利用三角平方和公式消去参数 $\theta$，将参数方程化为直角坐标方程，确定圆心和半径。

2. 运用点到直线的距离公式计算圆心到直线 $l$ 的距离 $d$。

3. 将 $d$ 与给定距离值对比，结合图形分析符合距离要求的两条平行直线与圆的交点总数。

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B

✍【详细解析】

Abstract

消去参数 $\theta$ 得到曲线 $C$ 的普通方程为： $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$ 此曲线为圆心在 $M(2,-1)$，半径 $R=3$ 的圆。 圆心 $M$ 到直线 $l:x-3y+2=0$ 的距离为： $d=\frac{|2-3(-1)+2|}{\sqrt{1^2+(-3{)}^2}}=\frac{7}{\sqrt{10}}=\frac{7\sqrt{10}}{10}$ 因为圆心到直线 $l$ 的距离恰好等于要求的距离 $\frac{7\sqrt{10}}{10}$，所以在直线 $l$ 的两侧各有一条到 $l$ 的距离为 $\frac{7\sqrt{10}}{10}$ 的平行线：

1. 一条平行线正好经过圆心 $M$，该直线必定与圆相交，产生 2 个交点。

2. 另一条平行线与圆心的距离为 $d+\frac{7\sqrt{10}}{10}=\frac{14\sqrt{10}}{10}\approx 4.43$。因为 $4.43>R=3$，此直线与圆相离，无交点。 综上所述，圆上到直线 $l$ 的距离为 $\frac{7\sqrt{10}}{10}$ 的点共有 2 个。 正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的参数方程、直角坐标方程、点到直线的距离。

2. 核心方法：几何法。相较于代数法（联立方程或三角代换），利用圆心距与半径的关系解题更为直观高效。

3. 避坑指南：容易忽视在直线 $l$ 的两侧均存在符合距离要求的平行线，导致漏算或盲目代数计算产生计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题属于高考选考模块“坐标系与参数方程”向必考模块“直线与圆”相互渗透的经典变形题。

5. 结论推广: 给定圆心到直线距离为 $d$，圆半径为 $R$。圆上到直线距离为 $h$ 的点的个数取决于 $h$ 与 $R-d,R+d$ 的大小关系。本题中由于 $h=d$，必有一条边界线穿过圆心。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-05 填-参数方程
• 2011-广东卷文-14 填-参数方程交点
• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标