本题导读
考查线面垂直。 是半径为 的半圆， 为直径， 为中点。由 平面 得 ；又 三等分 、 在 垂直平分线上可得 平面 ，从而 。点 到平面 的距离为 。
📌【题干】
Question
（2010年广东卷(文)） 如图， 是半径为 的半圆， 为直径，点 为 的中点，点 和点 为线段 的三等分点，平面 外一点 满足 平面 ，.
(1)证明：；
(2)求点 到平面 的距离.
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🔍【思路分析】
破题导航
1.（1）由 平面 得 ；再证 ，得 平面 ，而 与平面 相关（或证 平面 ）。 2.（2）建系或等体积法求点 到平面 的距离。
✅【答案】
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(1) 见解析
(2)
✍【详细解析】
Abstract
（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 . 又 是半圆 的直径， 是 的中点，故 在 的垂直平分线上，有 ，且 ，即 . 由 、 为线段 的三等分点，得 、 位于直线 上，且 与平面 的关系可推出 （ 到 的投影为 ）. 于是 垂直于平面 内的两条相交直线 与 ，故 平面 . 又 平面 （或 与平面 内直线共面且 、、 共面），故 . （2）以 为原点建系可算得点 到平面 的距离为
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：线面垂直与点到平面距离
核心方法：由 平面 得 ，结合 证 平面 ，故 ；距离
避坑指南：证线线垂直常用”线面垂直 线线垂直”；找点到面距离可用等体积法，避免硬算高。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：立体几何证垂直：找”线面垂直”作为桥梁，再推出线线垂直。
结论推广：线面垂直判定：直线垂直于平面内两条相交直线；性质：线面垂直 垂直于面内所有直线。
方法推广：先证一条线与某平面垂直，则它垂直该面内任意直线；求距离优先等体积法。
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