2010-新课标卷文-05 单-双曲线离心率

本题导读

考查双曲线离心率。$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，$e=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 中心在原点，焦点在 $x$ 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 $(4,2)$，则它的离心率为()

A. $\sqrt{6}$　　　　　　　B. $\sqrt{5}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{6}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 过 $(4,2)$：$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$。
2. $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 由渐近线经过点 $(4,2)$，得 $\frac{b}{a}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$， 所以离心率 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的渐近线与离心率

核心方法：由渐近线斜率定 $\frac{b}{a}$，再 $e=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$

避坑指南：焦点在 $x$ 轴时渐近线是 $y=\pm \frac{b}{a}x$；若焦点在 $y$ 轴则是 $\pm \frac{a}{b}x$，轴别搞反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：渐近线过点 $(4,2)$ 即斜率 $\frac{1}{2}$，这是定 $\frac{b}{a}$ 的最常见给法。

结论推广：离心率公式 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$（双曲线）与 $\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$（椭圆）对比记忆。

方法推广：选项含 $\sqrt{6}$ 干扰，注意 $\frac{c}{a}$ 与 $\frac{b}{a}$ 只差一步平方关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-05 单-双曲线渐近线离心率
• 2009-福建卷文-04 单-双曲线离心率
• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率
• 2011-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线