2010-新课标卷文-09 单-偶函数解不等式

本题导读

考查偶函数与指数不等式。$x⩾2$ 时 $2^{x-2}>4$ 得 $x>4$；$x<2$ 时 $2^{2-x}>4$ 得 $x<0$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 设偶函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=2^x-4$（$x⩾0$），则 $\{x\mid f(x-2)>0\}$ 等于()

A. $\{x\mid x<-2$ 或 $x>4\}$　　　　　　　　　　　　　　B. $\{x\mid x<0$ 或 $x>4\}$

C. $\{x\mid x<0$ 或 $x>6\}$　　　　　　　　　　　　　　D. $\{x\mid x<-2$ 或 $x>2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 当 $x-2⩾0$：$f(x-2)=2^{x-2}-4>0⟺x-2>2⟺x>4$。
2. 当 $x-2<0$：偶函数给出 $f(x-2)=f(2-x)=2^{2-x}-4>0⟺2-x>2⟺x<0$。
3. 合并：$x<0$ 或 $x>4$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

当 $x-2⩾0$，即 $x⩾2$ 时， $f(x-2)=2^{x-2}-4>0⟺2^{x-2}>2^2⟺x>4.$ 当 $x-2<0$，即 $x<2$ 时，由 $f$ 为偶函数， $f(x-2)=f(2-x)=2^{2-x}-4>0⟺2-x>2⟺x<0.$ 综上，解集为 $\{x\mid x<0$ 或 $x>4\}$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：偶函数的性质与指数不等式

核心方法：按 $x-2$ 的符号分类，负区间用 $f(x-2)=f(2-x)$ 转化

避坑指南：只给 $x⩾0$ 的解析式，$x-2<0$ 时必须借偶函数对称转化，不能直接代入 $2^{x-2}-4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：偶函数：$f(-t)=f(t)$，图象关于 $y$ 轴对称，是”缺半边解析式”题的桥梁。

结论推广：指数不等式 $2^u>4$ 即 $u>2$，底数大于 $1$ 不等号方向不变。

方法推广：分类讨论后取并集，两段结果 $x>4$ 与 $x<0$ 缺一不可。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-10 单-偶函数单调性
• 2009-四川卷文-12 单-抽象偶函数
• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式
• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式