2010-新课标卷文-21 解-导数单调与恒成立

本题导读

考查导数应用。（1）增区间 $(-\infty ,-1)$、$(0,+\infty )$，减区间 $(-1,0)$；（2）$a⩽1$。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 设函数 $f(x)=x({\mathrm{e}}^x-1)-a{x}^2$.

(1)若 $a=\frac{1}{2}$，求 $f(x)$ 的单调区间；

(2)若当 $x⩾0$ 时，$f(x)⩾0$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1.（1）$a=\frac{1}{2}$ 时 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x(x+1)-1-x=(x+1)({\mathrm{e}}^x-1)$。 2. $x<-1$ 两因子同负、$-1<x<0$ 异号、$x>0$ 同正，定三段单调性。 3.（2）$x>0$ 时 $f(x)⩾0⟺a⩽\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}$。 4. ${\mathrm{e}}^x⩾1+x\Rightarrow \frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}⩾1$，故 $a⩽1$ 充分； 5. $a>1$ 时 $x\to 0^{+}$ 处 $\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}\to 1<a$，不充分。

✅【答案】

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(1) 增区间 $(-\infty ,-1)$ 和 $(0,+\infty )$，减区间 $(-1,0)$

(2) $a⩽1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $a=\frac{1}{2}$ 时， $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x(x+1)-1-x=(x+1)({\mathrm{e}}^x-1).$ 当 $x<-1$ 时，$x+1<0$ 且 ${\mathrm{e}}^x-1<0$，故 $f^{\prime }(x)>0$； 当 $-1<x<0$ 时，$x+1>0$ 且 ${\mathrm{e}}^x-1<0$，故 $f^{\prime }(x)<0$； 当 $x>0$ 时，两因子均为正，故 $f^{\prime }(x)>0$。 所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,-1)$ 和 $(0,+\infty )$ 上单调递增，在 $(-1,0)$ 上单调递减。 （2）当 $x>0$ 时，$f(x)⩾0$ 等价于 ${\mathrm{e}}^x-1-ax⩾0$，即 $a⩽\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}$。 由 ${\mathrm{e}}^x⩾1+x$（$x⩾0$），得 $\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}⩾1$， 所以当 $a⩽1$ 时，对任意 $x⩾0$ 都有 $f(x)=x({\mathrm{e}}^x-1-ax)⩾x({\mathrm{e}}^x-1-x)⩾0$。 反之，若 $a>1$，由 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}=1$，可取充分小的正数 $x$ 使 $\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}<a$，此时 $f(x)<0$。 故 $a$ 的取值范围为 $a⩽1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数研究单调性与恒成立求参

核心方法：（1）因式分解 $f^{\prime }(x)=(x+1)({\mathrm{e}}^x-1)$；（2）分离参数后用 ${\mathrm{e}}^x⩾1+x$

避坑指南：${\mathrm{e}}^x-1$ 的零点在 $x=0$，与 $x+1$ 的零点 $-1$ 把数轴分三段，符号要逐段判断；第（2）问只要求 $x⩾0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：乘积的符号由各因子符号决定：列表法是讨论单调区间的规范写法。

结论推广：${\mathrm{e}}^x⩾1+x$（$x=0$ 取等）是指数放缩的第一不等式，恒成立求参常用。

方法推广：必要性证明用极限 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}=1$，说明 $a>1$ 时小区间上必被破坏。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2009-山东卷文-21 解-导数极值与恒成立
• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立
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