2010-江苏卷-06 填-双曲线焦半径

本题导读

考查双曲线。$c=4$，$M(3,\pm \sqrt{15})$，$|MF|=\sqrt{1+15}=4$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ 上一点 $M$ 的横坐标为 $3$，则点 $M$ 到此双曲线的右焦点的距离为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $a=2$，$b=2\sqrt{3}$，$c=\sqrt{4+12}=4$，右焦点 $F(4,0)$。
2. $x_M=3$ 代入：$\frac{9}{4}-\frac{y^2}{12}=1\Rightarrow y^2=15$。
3. $|MF|=\sqrt{(3-4{)}^2+15}=\sqrt{16}=4$。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ 中 $a^2=4$，$b^2=12$， $c=\sqrt{a^2+b^2}=4,$ 右焦点为 $F(4,0)$。 设 $M(3,y_0)$，代入方程： $\frac{9}{4}-\frac{y_0^2}{12}=1\Rightarrow y_0^2=15.$ 故 $|MF|=\sqrt{(3-4{)}^2+y_0^2}=\sqrt{1+15}=4.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的方程与焦半径

核心方法：定 $c$ 找焦点，代横坐标求纵坐标

避坑指南：双曲线 $c^2=a^2+b^2=16$，右焦点 $(4,0)$ 不是 $(2\sqrt{3},0)$；$y_0^2=15$ 开方正负均可，距离相同。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线上点的焦半径可用定义 $|M{F}_1|-|M{F}_2|=\pm 2a$ 与坐标法互验。

结论推广：横坐标给定时先代方程求纵坐标的平方，距离公式中直接用 $y_0^2$。

方法推广：$c^2=a^2+b^2$（双曲线）与 $c^2=a^2-b^2$（椭圆）是高频混淆点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-14 填-双曲线焦半径准线
• 2012-大纲卷文-10 单-双曲线焦点三角形
• 2009-湖南卷文-13 填-双曲线离心率
• 2011-山东卷文-15 填-双曲线方程