2010-江苏卷-16 解-线面垂直与点面距离

本题导读

考查立体几何。（1）$BC\perp DC$ 且 $BC\perp PD$ 得 $BC\perp$ 面 $PDC$；（2）平面 $PBC:x+z-1=0$，距离 $\sqrt{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PD\perp$ 平面 $ABCD$，$PD=DC=BC=1$，$AB=2$，$AB\parallel DC$，$\angle BCD=90^{\circ }$.

(1)求证：$PC\perp BC$；

(2)求点 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离.

🔍【思路分析】

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1. $PD\perp$ 底面 $\Rightarrow PD\perp BC$；又 $DC\perp BC$。
2. $BC\perp$ 平面 $PDC$，$PC\subset$ 平面 $PDC$。
3. 建系 $D(0,0,0),C(1,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1),A(-1,1,0)$。
4. 平面 $PBC$ 法向量 $\overrightarrow{PB}\times \overrightarrow{PC}=(-1,0,-1)$，方程 $x+z-1=0$。
5. $d=\frac{|-1+0-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

✅【答案】

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(2) $\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $PD\perp$ 平面 $ABCD$，$BC\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $PD\perp BC$。 又 $\angle BCD=90^{\circ }$，即 $DC\perp BC$。 $PD$ 与 $DC$ 是平面 $PDC$ 内两条相交直线，故 $BC\perp$ 平面 $PDC$。 而 $PC\subset$ 平面 $PDC$，所以 $PC\perp BC$。 （2）以 $D$ 为原点建立空间直角坐标系，取 $D(0,0,0),C(1,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1).$ 由 $AB\parallel DC$，$AB=2$，可取 $A(-1,1,0)$。 $\overrightarrow{PB}=(1,1,-1),\overrightarrow{PC}=(1,0,-1),$ 平面 $PBC$ 的一个法向量 $\overrightarrow{PB}\times \overrightarrow{PC}=(-1,0,-1),$ 平面 $PBC$ 的方程为 $x+z-1=0$。 点 $A(-1,1,0)$ 到该平面的距离 $d=\frac{|-1+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定与点面距离

核心方法：线线垂直 $\to$ 线面垂直 $\to$ 线线垂直；建系用法向量求距离

避坑指南：判定线面垂直必须找”两条相交直线”：$PD$ 与 $DC$ 缺一不可；$A$ 的坐标取 $(-1,1,0)$ 依赖于 $AB\parallel DC$ 且 $AB=2$，建系后坐标要回验。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点面距离向量公式：$d=\frac{|\overrightarrow{PA}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}$。

结论推广：底面是直角梯形（$AB\parallel DC,\angle BCD=90^{\circ }$）是江苏卷立体几何的常见底面。

方法推广：几何法（等体积）与向量法（法向量）求点面距离可互相验算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直
• 2009-大纲卷I文-19 解-四棱锥二面角
• 2009-天津卷文-19 解-四棱锥线面角
• 2011-新课标卷文-18 解-四棱锥垂直与求高