2010-江西卷文-14 填-分组分配计数

本题导读

考查分组分配。均匀分组除 ${\mathrm{A}}_2^2$ 得 $15$ 组，全排列分配 $6$，共 $90$ 种。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 将 $5$ 位志愿者分成 $3$ 组，其中两组各 $2$ 人，另一组 $1$ 人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 $\underline{}$种.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 分组：$\frac{{\mathrm{C}}_5^2{\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_1^1}{{\mathrm{A}}_2^2}=\frac{10\times 3\times 1}{2}=15$。
2. 分配到三个不同场馆：${\mathrm{A}}_3^3=6$。
3. 共 $15\times 6=90$。

✅【答案】

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$90$

✍【详细解析】

Abstract

第一步分组：$5$ 人分成 $2$，$2$，$1$ 的三组，其中有两组人数相同，为均匀分组，需除以 ${\mathrm{A}}_2^2$： $\frac{{\mathrm{C}}_5^2{\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_1^1}{{\mathrm{A}}_2^2}=\frac{10\times 3\times 1}{2}=15.$ 第二步分配：三组对应三个不同场馆，全排列 ${\mathrm{A}}_3^3=6$. 由分步乘法计数原理，不同的分配方案共 $15\times 6=90.$ 故答案为 $90$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均匀分组与分配

核心方法：先分组 $\frac{{\mathrm{C}}_5^2{\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_1^1}{{\mathrm{A}}_2^2}=15$，再全排列 ${\mathrm{A}}_3^3=6$

避坑指南：两组各 $2$ 人是均匀分组，必须除以 ${\mathrm{A}}_2^2$ 消序；“分赴三个不同场馆”对应全排列，先组后排顺序不能颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分组分配问题的完整分类：非均匀、部分均匀、完全均匀三类，处理方式各异。

结论推广：$n$ 人按 $2$-$2$-$1$ 分三组赴三地：$\frac{{\mathrm{C}}_n^2{\mathrm{C}}_{n-2}^2}{2}\times {\mathrm{A}}_3^3$ 是通用模板。

方法推广：计数题的检验手段：缩小规模（$3$ 人分 $2$-$1$ 组）穷举对照公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-05 单-四位偶数排列
• 2009-湖北卷文-04 单-分步计数
• 2012-大纲卷文-07 单-排列特殊元素
• 2013-大纲卷文-14 填-分组计数