2010-江西卷文-18 解-迷宫行走概率

本题导读

考查独立与互斥。恰好 $1$ 小时即首次开 $1$ 号，$P=\frac{1}{3}$；超 $3$ 小时的路径 $2\to 3\to 1$、$3\to 1$、$3\to 2\to 1$，概率和 $\frac{1}{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门. 首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道. 若是 $1$ 号通道，则需要 $1$ 小时走出迷宫；若是 $2$ 号、$3$ 号通道，则分别需要 $2$ 小时、$3$ 小时返回智能门. 再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.

(1) 求走出迷宫时恰好用了 $1$ 小时的概率；

(2) 求走出迷宫的时间超过 $3$ 小时的概率.

🔍【思路分析】

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1. (1) 恰好 $1$ 小时 $⟺$ 首次开 $1$ 号直接走出，$P=\frac{1}{3}$。
2. (2) 列超 $3$ 小时的路径： $2\to 3\to 1$：$2+3+1=6$ 小时，$P=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{6}$； $3\to 1$：$3+1=4$ 小时，$P=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$； $3\to 2\to 1$：$3+2+1=6$ 小时，$P=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{6}$。
3. 路径互斥，$P=\frac{1}{6}\times 3=\frac{1}{2}$。
4. 注意 $2\to 1$ 用时 $2+1=3$ 小时，不”超过” $3$ 小时，不计入。

✅【答案】

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(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 记”走出迷宫恰好用了 $1$ 小时”为事件 $A$. 只有首次打开 $1$ 号通道这一种情形，故 $PA.=\frac{1}{3}.$ (2) 记”走出迷宫的时间超过 $3$ 小时”为事件 $B$. 首次到达智能门时等可能打开 $1$、$2$、$3$ 号通道； 若打开 $2$ 或 $3$ 号通道，返回后系统只会在未到过的通道中等可能地打开一个. 各条走出路径与用时： ① $1$：用时 $1$ 小时； ② $2\to 1$：用时 $2+1=3$ 小时，不超过 $3$ 小时； ③ $2\to 3\to 1$：用时 $2+3+1=6$ 小时，超过 $3$ 小时，概率为 $\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{6}$； ④ $3\to 1$：用时 $3+1=4$ 小时，超过 $3$ 小时，概率为 $\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$； ⑤ $3\to 2\to 1$：用时 $3+2+1=6$ 小时，超过 $3$ 小时，概率为 $\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{6}$. ③④⑤互斥，故 $PB.=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}.$ 故走出迷宫的时间超过 $3$ 小时的概率为 $\frac{1}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：互斥事件与独立事件的概率

核心方法：列全走法路径，逐路径算概率求和；“再次只开未到过的通道”是条件结构的来源

避坑指南：$2\to 1$ 走法用时恰 $3$ 小时，“超过 $3$ 小时”不含等于，该路径必须排除；每条路径概率按分步乘法，路径间按互斥加法。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“首次等可能、后续去除已选项”的概率模型即不重复抽样结构，与抽签公平性同源。

结论推广：一般化：$n$ 个通道首次开 $1$ 号即出、其余各耗 $k_i$ 小时返回，超时概率仍可按路径枚举。

方法推广：路径枚举法是随机过程类概率题的通法：画树状图，叶子求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-18 解-独立重复概率
• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
• 2012-重庆卷文-18 解-相互独立事件概率
• 2013-大纲卷文-20 解-独立事件概率