2010-浙江卷文-07 单-线性规划最值

本题导读

考查线性规划。可行域顶点 $(0,1)$、$\left(\frac{12}{7},\frac{3}{7}\right)$、$(4,5)$，$z=x+y$ 在 $(4,5)$ 取最大值 $9$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 若实数 $x$，$y$ 满足不等式组 $\{\begin{array}{l}x+3y-3⩾0,\\ 2x-y-3⩽0,\\ x-y+1⩾0,\end{array}$ 则 $x+y$ 的最大值为()

A. $9$　　　　　　　B. $\frac{15}{7}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\frac{7}{15}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x+3y=3$ 与 $x-y=-1$ 交于 $(0,1)$；$x+3y=3$ 与 $2x-y=3$ 交于 $\left(\frac{12}{7},\frac{3}{7}\right)$；$2x-y=3$ 与 $x-y=-1$ 交于 $(4,5)$。
2. 可行域为以这三点为顶点的三角形。
3. 逐点代入 $z=x+y$：$1$、$\frac{15}{7}$、$9$。
4. 最大值为 $9$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

三条边界直线两两求交： $x+3y=3\text{与}x-y=-1\Rightarrow (0,1);$ $x+3y=3\text{与}2x-y=3\Rightarrow \left(\frac{12}{7},\frac{3}{7}\right);$ $2x-y=3\text{与}x-y=-1\Rightarrow (4,5).$ 可行域为以这三点为顶点的三角形区域。 目标函数 $z=x+y$ 在顶点处的值分别为 $1$、$\frac{15}{7}$、$9$， 故最大值为 $9$，在点 $(4,5)$ 处取得。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求最值

核心方法：画可行域、求顶点、逐点代入目标函数

避坑指南：三条直线两两求交后必须验证交点满足第三个不等式；$x-y+1⩾0$ 即 $x-y⩾-1$，移项符号别错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：封闭可行域上的线性目标函数必在顶点处取得最值。

结论推广：交点 $(4,5)$ 给出 $x+y=9$，恰为选项最大值，可作快速定位。

方法推广：可行域是三角形还是四边形要先判断直线间的包含关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-13 填-线性规划最值
• 2011-浙江卷文-03 单-线性规划最值
• 2012-浙江卷文-14 填-线性规划取值范围
• 2009-天津卷文-02 单-线性规划