2010-浙江卷文-15 填-基本不等式最值

本题导读

考查基本不等式。$xy⩾2\sqrt{2}\cdot \sqrt{xy}+6$，$\sqrt{xy}⩾3\sqrt{2}$，$xy⩾18$。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 若正实数 $x$，$y$ 满足 $2x+y+6=xy$，则 $xy$ 的最小值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $xy=2x+y+6⩾2\sqrt{2xy}+6$（基本不等式 $2x+y⩾2\sqrt{2xy}$）。
2. 设 $t=\sqrt{xy}>0$：$t^2-2\sqrt{2}t-6⩾0$。
3. 解得 $t⩾3\sqrt{2}$（舍负根）。
4. $xy=t^2⩾18$，当 $2x=y$ 即 $x=3,y=6$ 时取等。

✅【答案】

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$18$

✍【详细解析】

Abstract

由 $x>0$，$y>0$ 及基本不等式： $xy=2x+y+6⩾2\sqrt{2x\cdot y}+6=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{xy}+6.$ 设 $t=\sqrt{xy}(t>0)$，则 $t^2-2\sqrt{2}t-6⩾0⟺(t-3\sqrt{2})(t+\sqrt{2})⩾0,$ 故 $t⩾3\sqrt{2}$，即 $xy⩾18$。 当 $2x=y$ 且 $2x+y+6=xy$ 时，解得 $x=3$，$y=6$，等号成立。 故 $xy$ 的最小值为 $18$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式求最值

核心方法：条件式整体放缩成 $\sqrt{xy}$ 的二次不等式

避坑指南：$2x+y⩾2\sqrt{2xy}$ 中 $\sqrt{2xy}$ 的系数 $2$ 来自 $(2x)\cdot y$；取等条件 $2x=y$ 必须回代原方程验证存在性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：条件最值问题：把条件放缩成目标量的不等式是最直接的路径。

结论推广：换元 $t=\sqrt{xy}$ 把无理不等式化为二次不等式。

方法推广：一正二定三相等：正数前提、定值结构、取等检验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-10 填-基本不等式最值
• 2009-湖北卷文-17 解-均值不等式应用
• 2011-天津卷文-12 填-基本不等式最值
• 2011-浙江卷文-16 填-对称换元最值