2010-浙江卷文-18 解-解三角形与最值

本题导读

考查解三角形。$\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2ab\cos C$ 得 $C=\frac{\pi }{3}$；$\sin A+\sin B=\sqrt{3}\cos \frac{A-B}{2}⩽\sqrt{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$. 设 $S$ 为 $△ABC$ 的面积，满足 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+b^2-c^2)$.

(1)求角 $C$ 的大小；

(2)求 $\sin A+\sin B$ 的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $S=\frac{1}{2}ab\sin C$，$a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$。
2. 代入条件：$\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}ab\cos C$，$\tan C=\sqrt{3}$，$C=\frac{\pi }{3}$。
3. $\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}=\sqrt{3}\cos \frac{A-B}{2}⩽\sqrt{3}$。
4. 当 $A=B=\frac{\pi }{3}$ 时取等号。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $C=\frac{\pi }{3}$

(2) $\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由三角形面积公式与余弦定理： $S=\frac{1}{2}ab\sin C,a^2+b^2-c^2=2ab\cos C.$ 代入已知条件： $\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2ab\cos C\Rightarrow \tan C=\sqrt{3}.$ 因为 $0<C<\pi$，且 $\cos C>0$（$\sin C,\cos C$ 同号），故 $C=\frac{\pi }{3}.$ （2）由 $A+B=\pi -C=\frac{2\pi }{3}$，和差化积： $\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}=2\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{A-B}{2}=\sqrt{3}\cos \frac{A-B}{2}⩽\sqrt{3},$ 当 $A=B=\frac{\pi }{3}$，即 $△ABC$ 为正三角形时取等号。 故 $\sin A+\sin B$ 的最大值为 $\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形与三角最值

核心方法：面积公式 $+$ 余弦定理夹出 $\tan C$；和差化积放缩

避坑指南：由 $\tan C=\sqrt{3}$ 定角时要说清 $C$ 为锐角（$\cos C>0$ 由 $a^2+b^2>c^2$ 保证）；$\cos \frac{A-B}{2}⩽1$ 的取等条件是 $A=B$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 与 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 是面积条件的标准接口。

结论推广：$A+B$ 为定值时，$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$ 有最大值 $2\sin \frac{A+B}{2}$。

方法推广：解三角形中的最值必答取等条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-18 解-解三角形与向量
• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2011-福建卷文-14 填-余弦定理与面积
• 2011-新课标卷文-15 填-余弦定理与面积